E-réputation

sur ]–∞, +∞[. Sa réciproque est l'exponentielle : t = ln(x) ⇔ x = et e 1 Le nombre e est tel que 1 = ln(e) soit ⌠  t dt = 1. e vaut environ 2,71828... ⌡1 Les limites relatives à ln se traduisent pour l'exponentielle de la façon suivante : lim ex = +∞ x → +∞ lim ex = 0 x → –∞ La règle de dérivation d'une fonction réciproque (cf le chapitre Dérivation dans le fichier DERIVEE.PDF) conduit à : (ex)' = ex x+y x y On a également e = e e puisqu'en prenant les logarithmes des deux membres, on obtient : ln(ex+y)

>0 : ln(ab)=ln(a)+ln(b) ln(1b)= -ln(b) ln(ab)= ln(a)-ln (b) nЄZ ln(an)=nln(a) ln(a)= 12 ln(a) o ETUDE DE FONCTION LN ]0 ;+∞[ Strictement croissante limx→+∞(x)=+∞ & limx→0(x)= +∞ Tangente (oblique) : y=x-1 o LE NOMBRE E ln(e)=1 ln(en)=n (> remplacer qd ln(x)=n car ln(a)=ln(b) ssi a=b ln(a)>ln(b) ssi a>b Etc.) o LN(U) (lnu)’=u'u (derivable si u derivable et si u(x)>0) lnu definie ssi u(x) soit bien défini, et u(x)>0 Si u(x)>0 et u dérivable

´quivalent de n! e On se propose de d´montrer la formule de Stirling : e √ n! ∼ nn e−n 2πn +∞ ————— I Constante d’Euler —– 1 1 On consid`re la s´rie de terme g´n´ral un = − ln(1 + ) n ≥ 1. e e e e n n 1. Montrer que la s´rie e un converge 2. En d´duire que : e n 1 lim ( − ln(n) ) = C n−>+∞ k k=1 o` C est une constante r´elle, C > 0. C est la constante d’Euler. u e II Formule de Stirling —– an+1 −n n On pose : pour n ≥ 1, an = n!.n e , vn = ln( ) an

Quelques m´ thodes math´ matiques pour le traitement e e d’image cel-00125868, version 4 - 4 Jan 2009 2 janvier 2009 ` Ce cours est une introduction a la th´ orie math´ matique de traitement de l’image . Il est donc e e incomplet car les m´ thodes dans ce domaine sont nombreuses et vari´ es. On se polarisera sur e e les m´ thodes variationnelles. e M. Bergounioux Master 2 - 2008-2009 cel-00125868, version 4 - 4 Jan 2009 2 Chapitre 1 Introduction 1.1 cel-00125868, version

existe une unique fonction exponentielle de base q qui admet 1 pour nombre dérivé en 0. On l’appelle LA fonction exponentielle, et elle se note « exp : x | ex ». La base « e »2 de cette fonction est un nombre irrationnel. Une valeur approchée est e ≈ 2,718. LA fonction exponentielle est UNE fonction exponentielle (celle de base e). Elle possède donc toutes les propriétés de ces fonctions : relation fonctionnelle, continuité, mais aussi dérivabilité. Propriété : La fonction exponentielle est égale à

1 3x + 6 dx ; D = ∫ (2 x + 1)3dx ; E = ∫ dx ; T = ∫ 2 2 4 0 1 ( x + 4 x + 3) 0 5x 2 C=∫ 1 x (x ) +1 2 3 dx π π 3 e ln x 3 cos x 4 3 2 4 dx ; G = ( 3 x − + x ) dx ; J = dx ; = dx ; H = K ∫2 ∫π6 sin 2 x ∫1 x ∫04 tan( x)dx 0 (3 − 2 x ) 4 x2 F =∫ 1 π 1 L = ∫ 3 sin x cos 3 x dx ; N = ∫ x( x 2 + 1)5 dx ; 0 P=∫ 0 π 1 x + 3 dx ; D = ∫ 4π tan 2 ( x)dx −2 − 4 π 1 0 1 + ln x π dx ; R = ∫ 3 cox(2 x + )dx ; U = ∫ ( x + e x )dx ; K = ∫ ( x 2 + x) e 2 x dx 0 1 0 −1 x 3 π 1 2 π 3x tan(

calculs, jusqu'à leur remplacement, à la fin du xxe siècle, par des calculatrices. Pour les calculs, le logarithme décimal (c'est-à-dire en base dix) était le plus communément utilisé. Le logarithme népérien (ou naturel) est celui qui utilise le nombre e comme base, il est fondamental en analyse mathématique car il est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Le logarithme binaire, qui utilise 2 comme base, est utile pour les calculs appliqués, et en informatique théorique. Une échelle

estmultiplié facteur 1,12'; sur3 ansgr 1,123 ; sur5 anspari,125; ...i surN anspar1,'12N. Cetteévolution estappelée exponentielle, et doitpouv o i rs ' é v a l u earu s s ip o u rd e s n o m b r enso ne n t i e r s d'années. b) Fonction exponentielle de basea (a> 0) c'est-à-dire la fonction 10',et l'exponentielle debasee (oùe = 2,71828...), soit e',couramment appelée fonction exponentielle. Comme lemontre I'exemple grandeur introductif, toute évoluant d'unemanière multiplicative stable s'exprime

]0 ; +∞[ par la fonction ln est donc 2) Le nombre e Puisque la fonction ln est une bijection de ]0 ; +∞[ dans solution dans ]0 + ∞[. Définition On note e l'unique solution de l'équation ln x = 1. Ce nombre e s'appelle base du logarithme népérien.   . , pour tout réel λ l'équation ln x = λ admet une unique On a donc ln e = 1. Le nombre e s'obtient avec une calculatrice avec la touche ex et x = 1. On obtient e Plus généralement, ln e = p ln e = p, relation pratique pour la résolution des équations

est unique et est noté e ( exp(1) = e1 = e ) Ce nombre e est un nombre irrationnel proche de 2,718. On peut alors adopter la notation exp(x) = ex 6. La fonction f(x) = e = exp(x) Etude des limites : de - ¥ . x® + ¥ x lim e x = + ¥ ; lim ex = 0 ; asymptote d'équation y=0 (=axe des abscisses) au voisinage x® - ¥ ex -1 = 1 donc pour x voisin de 0 on a : ex @ 1 + x , on a alors pour n assez grand e x®0 x lim et aussi Tableau de variation 1 @ æ 1+ ö ç ÷ è nø n e = + ¥ ; lim xe x = 0