Égalité de Parseval

suite de vecteurs orthogonaux : e e e e a Proposition. Soit (xn )n∈N une famille orthogonale d’un espace de Hilbert H. Alors xn 2 < ∞. Si cette derni`re condition est v´rifi´e, converge dans H si et et seulement si n∈N xn e e e on a alors l’´galit´ de Parseval : e e +∞ 2 +∞ xn n=0 = n=0 xn 2 . p k=n+1 xk . (7.2) Par orthogonalit´ e Preuve : Notons Sn = n xk . Pour p > n, on a Sp − Sn = k=0 de la famille (xk )k∈N , on a donc p Sp − Sn 2 2 = k=n+1 xk 2 . pour la relation

COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE Le Professeur Farid BENABICHA Année universitaire 2016/2017 COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE 1 TABLE DES MATIERES Chapitre 1 : Les notions de Mathématiques utiles en M.Q Chapitre 2 : Les origines de la M.Q Chapitre 3 : L’équation de Schrödinger-Application Chapitre 4 : Le formalisme Mathématique de la M.Q Chapitre 5 : Les postulats de la M.Q Chapitre 6 : L’oscillateur harmonique à une dimension COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE 2 Chapitre 1

. . . . . . 39 39 39 41 42 44 44 27. Séries de Fourier 27.1. 27.2. 27.3. 27.4. Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . Cas où f est 2 π-périodique . . . . . . . Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . Produit scalaire et formule de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . 69 69 69 71 71 28. Inversion intégrale-sommation 72 20. Trigonométrie 20.1. 20.2. 20.3. 20.4. 20.5. 20.6. 20.7. 20.8. 20.9. Propriétés élémentaires . . . . . . . . . Symétries . . . . . . . . . . . .

R → R telle que |f |2 existe (on dit alors que f est « de carré intégrable »), alors l’application f → F[f ] est inversible. Dans ce cas, on montre que F−1 vérifie ∀f t.q. Soit f telle que de Parseval) |f |2 < +∞ , F−1 [f ](t) = 1 2π ∞ −∞ f (ω)ejωt dω |f |2 soit convergente. Si F[f ] = F , alors (égalité |F (ω)|2 dω = 1 2π |f (t)|2 dt 65 C HAPITRE IV. ANALYSE SPECTRALE Puis, on va exposer la propriété suivante très importante pour fonder l’utilisation pratique de la transformée de

leur plus grand commun diviseur est 1. Propriété de Gauss : Soient A, B et C trois polynômes non nuls de K [ X ] : si A divise BC et si A et B sont premiers entre eux, alors A divise C. Si A est premier avec B et avec C, alors A est premier avec BC Égalité de Bezout pour deux polynômes Soient A et B deux polynômes non nuls de K [ X ]. Ces deux polynômes sont premiers entre eux, si et seulement si il existe un unique couple (U, V ) de polynômes de K [ X ] tels que : AU + BV = 1 Polynôme irréductible

fonction continue. Que dire, lorsque l’entier n tend vers l’infini, de la quantité 1 n n (−1)k k=1 f k n ? Fonctions à valeurs pareillement multiples Pour quels entiers n existe-t-il une fonction continue prennant exactement n fois chaque valeur ? Égalité en des points à une distance fixée Soit f une fonction continue définie sur [0; 1]. On suppose qu’elle prend la même valeur en 0 et en 1. Montrer que pour tout n ∈ ∗ , l’équation f x + n1 = f (x) a une solution. Et si l’on suppose seulement n ∈ ∗

point c ∈]a,b[ tel que f (c) = 0. Autre énoncé Si f est dérivable, entre deux valeurs qui annulent f, il existe au moins une valeur qui annule f . 1.3 Égalité des accroissements finis Soit f une fonction continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[. Alors il existe au moins un point c ∈]a,b[ tel que : f (b) − f (a) = (b − a) f (c) . Cette égalité, valable pour les fonctions de R dans R, ne se généralise pas, ainsi que le théorème de Rolle. © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

point c ∈]a,b[ tel que f (c) = 0. Autre énoncé Si f est dérivable, entre deux valeurs qui annulent f, il existe au moins une valeur qui annule f . 1.3 Égalité des accroissements finis Soit f une fonction continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[. Alors il existe au moins un point c ∈]a,b[ tel que : f (b) − f (a) = (b − a) f (c) . Cette égalité, valable pour les fonctions de R dans R, ne se généralise pas, ainsi que le théorème de Rolle. © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

spectrale de puissance Par définition, c’est la transformée de Fourrier de la fonction d’autocorrélation. Pour le signal aléatoire Vn , on a donc : 116 vn2 (f ) = +∞ −∞ ΓVn Vn (θ) exp(−j2πf θ)dθ. (4.71) Théorème de Parseval Le théorème de Parseval exprime que la puissance moyenne dans le domaine temporel est égale à la puissance sur toutes les fréquences. Autrement dit : E(Vn2 ) = +∞ −∞ vn2 (f )df. (4.72) Hypothèses et méthode de calcul Les différentes sources

È´   ½µº Les seuls complexes de module 1 solutions de Þ · ½ ½ sont et ¾ , ce sont ¾ µÕ donc les seules racines possibles. È est de la forme È´ µ ´ µÔ ´ ¾· ·½ car il doit ˆ etre de plus unitaire. On v´ erifie que ´ µ´ · µ est solution est que l’´ egalit´ e souhait´ ee est stable par quotient. Comme ni ni ne sont solutions, on a Ô Õ et È ´ ¾ · · ½µÔ (Ô ¼) (la r´ eciproque est directe). Si È est constant, alors È ¼ ou 1. Sinon de la formule, on d´ eduit que si Þ est racine de È alors Þ ¾ et ´Þ · ½µ¾