Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

2⌠0 t.cos(2πnt).dt = 0  1⌡  2⌠ 1 1  bn = 1⌡0 t.sin(2πnt).dt = – nπ  1 d'où S(f )(x) = c-) 1 1 – ∑  × sin(2nπx) .   2 n ≥ 1 nπ  Z. La fonction F est C1 par morceaux sur IR, discontinue aux points d'abscisses n∈Z Le théorème de Dirichlet permet donc d'affirmer que la série de Fourier de F converge sur IR vers la fonction réglée de F. 1 Donc: si x∉Z alors S(f )(x) = F(x) sinon S(f )(x) = . Z 2 L'égalité de Parseval s'écrit: d'où 1 1 1 1 1 1 + = ⌠ t2.dt = . 3 4 2 n∑1 n2π2 1 ⌡0 ≥

cardinal (card Y )card X−1 . Comme il y a (card Y ) parties, le cardinal de F(X, Y ) vaut bien (card Y )card X . Principe des tiroirs. — Comme cons´quence du principe des bergers, on a le principe des tiroirs e (utilis´ pour la premi`re fois par Dirichlet(11) au xixe si`cle) : « si une commode de trois tiroirs e e e contient quatre paires de chaussettes, l’un des tiroirs en contient au moins deux. » Principe des tiroirs. — Soit X un ensemble fini et soit (Ai )1≤i≤m une partition de X. Si card X > m

Cette propriété que l’on utilise ici et que l’on peut énoncer ainsi « si n+1 chaussettes sont répartis entre n tiroirs, alors il y a un tiroir qui contient au moins deux chaussettes » est le principe des tiroirs ou principe de Dirichlet. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet est un mathématicien allemand né en 1805 et mort en 1859. En tenant compte du 29 février, on trouve qu’à partir de 367 personnes on est sûr qu’il y a plusieurs anniversaires à la même date, la probabilité qu’au moins deux personnes