Équation de Laplace

situation : une variable aléatoire qui suit la loi de distribution la plus connue et la plus facile à manipuler, la loi « normale ». A/- La distribution normale Au XIXe siècle, deux mathématiciens qui travaillaient sans se connaître, le Français LAPLACE et l’Allemand GAUSS ont démontré que n’importe quel phénomène entraîné par des causes multiples et indépendantes entre elles suit la loi de distribution qui porte désormais leurs noms. Cette loi est tellement « générale », s’applique à des phénomènes

et A ∩ B . Ils sont incompatibles c.-à-d. C ∩ (A ∩ B) = ∅. On constate aisément que C ∪ (A ∩ B) = B , P {C ∪ (A ∩ B) = B} = P {B} = P {C} + P {A ∩ B} P {C} = P {B} − P {A ∩ B} Avec les équations (3.3) et (3.4), nous en déduisons : (3.4) P {A ∪ B} − P {A} = P {B} − P {A ∩ B}, d'où le résultat (Équation 3.2). 3.6 Inégalité de Boole D'après les axiomes des probabilités totales, P {A + B} = P {A} + P {B} − P {A.B} P {A + B} ≤ P {A} + P {B} On peut généraliser à un nombre quelconque d'évènements

. . . . . . . . . . Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Balistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Premier exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . Second exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.5 La chute libre ... de la Lune . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.6 Mouvement circulaire uniforme (MCU)

Pari de Pascal montre que croire en DieuT E C solution statistiquement plus est une avantageuse, en supposant au préalable que les deux hypothèses d’existence ou non O LY P de Dieu ont la même probabilité. L E O Leibnitz (1646-1716), et plus tard Laplace (17491827), Poisson (1781-1840) É C (Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile), l’appliquent aux controverses juridiques. Les probabilités sont un outil privilégié de modélisation des comportements humains

En t = 1, il prend la valeur C1 dans d l’état "up" et C1 dans l’état "down". On cherche un couple (x, ∆) vérifiant: ´ u u C1 = ∆S1 + (x − ∆S0 )R = xR + (u − R)∆S0 d d C1 = ∆S1 + (x − ∆S0 )R = xR + (d − R)∆S0 10 C’est un système à deux équations et deux inconnues dont la solution est donnée par: ∆ = u d C1 − C1 (u − d)S0 = u d φ(S1 ) − φ(S1 ) u d S1 − S1 et x = 1 R u−R d R−d u C1 + C u−d u−d 1 . 2 Donc, sous l’hypothèse d’absence d’opportunités d’arbitrage, la définition

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Portefeuille autofinan¸cant ´ecrit sur un sous-jacent risqu´e . . . . . . . . . . 2.4.2 Formulation math´ematique du risque nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Evaluation par ´equation aux d´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 L’EDP d’´evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Interpr´etation

- TUBE EN U 39 39 40 iv Introduction III.2-1 DESCRIPTION GEOMETRIQUE III.2-2 EQUATIONS REGISSANT LE SYSTEME ET CONDITIONS AUX LIMITES III.2-2-a Interface tube en U - monde extérieur III.2-2-b Transport de vapeur en phase gazeuse III.2-2-c Flux dans la phase liquide III.2-2-d Condition de saut à l'interface gaz-liquide III.2-2-e Système d'équations résultant III.2-2-f Forme adimensionnelle des équations III.3 COMPORTEMENT DU SYSTEME EN FONCTION DU NOMBRE CAPILLAIRE ET DU NOMBRE DE BOND -

montre aussi une tendance à la croissance des ventes dans le temps : les courbes les plus récentes sont au-dessus des antérieures. ▪ Méthode des moindres carrés La méthode des moindres carrés est une méthode d'ajustement linéaire qui fournit une équation de droite de type y = a x + b, y représentant la valeur ajustée et x la période observée, avec : étant les moyennes arithmétiques des valeurs des séries X et Y. La recherche des valeurs a et b peut s'effectuer par tableau de calcul

hypergéométrique ou loi du tirage exhaustif Loi de Poisson Lois limites Résumé 6 • Lois de probabilité continues 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Généralités Loi uniforme Loi exponentielle Loi gamma Lois bêta de types I et II Loi de Laplace-Gauss ou loi normale Loi log-normale 7 • Convolution. Fonctions caractéristiques. Convergences stochastiques 7.1 Convolution i 45 46 49 49 52 54 56 57 58 59 67 67 69 70 71 77 80 83 84 87 89 89 90 92 95

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 ■ F2 Résoudre une (in)équation… ou pas 97 1. Définitions 2. Différentes représentations d’une fonction 3. Détermination d’images et d’antécédents 1. Résolution exacte d’(in)équations 2. Résolution approchée d’(in)équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .