Équation fonctionnelle

On veut maintenant déterminer la procédure de décodage: a) Montrer que tout couple vérifiant les équations du système , vérifie les équations du système : b) À l'aide de la partie B, montrer que tout couple vérifiant les équations du système , vérifie les équations du système c) Montrer que tout couple vérifiant les équations du système , vérifie les équations du système d) Décoder le mot YJ. Correction exercice 1 - Commun à tous les candidats Partie

solutions est non vide, soit x0 une solution particulière. L'énoncé affirme que l'ensemble des solutions est de la forme x0 + Kerf = {x0 + z, z ∈ Kerf}, ce qui est facile à vérifier. Cette propriété est couramment utilisée dans la résolution des équations différentielles linéaires de la forme f(y) = c, où f est une expression linéaire en y faisant intervenir y' et y" (par exemple y" + 2y' + 3y), et où la solution générale est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation

résoudre l’équation différentielle. Nous savons que m.a=-k.x+m.g.sinθ Comme l’accélération est la dérivée seconde de la position x par rapport au temps nous pouvons alors amener cette équation à : d2xdt2=-km.x+g.sinθ Cette solution n’est pas homogène, pour la résoudre, nous devons ramener cette équation en une solution homogène et en une solution particulière pour trouver la solution générale. SG=SH+SP Commençons par la solution homogène :

Déduire de 5 c) les formules exprimant X, Y en fonction de x, y et z. → → PARTIE II : Étude des projections orthogonales de l’hélice. Soit θ0 le réel défini modulo 2π par cos θ0 = Quel angle géométrique θ0 mesure-t-il ? 2) Montrer que des équations paramétriques de la courbe (C) dans le repère ( O, I , J ) sont données par les X = dht − cR cos( t − θ0 ) où l'on a posé d = a 2 + b 2 . formules Y = R sin ( t − θ 0) → → 1) a a 2 + b2 , sin θ0 = b a2 + b2 . –3– 3) 4) Quelle

≥ 0 (il existe des solutions réalisables : 1,1 ; 5,0 mais on peut toujours trouver une solution meilleure) 5 2. La méthode du simplexe (Dantzig 1955) -> points intérieurs • • Idée 1 : rajouter des variables d’écarts pour se ramener à des équations linéaires. Exemple : max z = 5x1 + 4x2 + 3x3 s.c. 2x1 + 3x2 + x3 ≤ 5 4x1 + x2 + 2x3 ≤ 11 3x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 8 x1, x2, x3 ≥ 0 max z = 5x1 + 4x2 + 3x3 s.c. x4 = 5 - 2x1 - 3x2 - x3 x5 = 11 - 4x1 - x2 - 2x3 x6 = 8 - 3x1 - 4x2 - 2x3 x1, x2, x3, x4, x5

a pour équation x=1. BM2=CM2 -x+y-3 = 0 ; x= 0 ou x = -1 . Δ2 BM=CM 6 alors Ce qui donne x 7Les solutions de l'inéquation sont les réels x tels que 8L'ensemble des solutions de l'inéquation est a pour équation : y = x+3 Leur point d’intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle. Les coordonnées de R sont solution du Δ2 système : x =1 y = x+3 d’où R(1 ;4). 7 8 3) D2 est la hauteur issue de A. D2 (BC) donc D2// Δ 2 donc D2 a une équation de la forme

d’une question non r´solue s’ils l’indiquent clairement sur la copie. Il convient en particulier de rappeler avec e pr´cision les r´ f´ rences des questions abord´es. e ee e D´ finitions et notations e Dans tout le probl` me, par “solution d’une equation diff´ rentielle”, on fait r´ f´ rence aux solutions e ´ e ee a valeurs r´elles d´finies sur R. ` e e Si f est une fonction continue sur R a valeurs r´ elles, on lui associe l’´ quation diff´ rentielle ` e e e y ′ − y + f = 0. (Ef ) Le but du probl`

comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Equation de la chaleur Dans ce texte on note R l’ensemble des nombres réels, N l’ensemble des nombres entiers positifs ou nuls, N∗ = N∖ {0} l’ensemble des nombres entiers strictement positifs et Z l’ensemble des entiers relatifs. Le problème est consacré

printf("\nL’équation est du 1er degré") ; } else DELTA = (a*a) - (4*(b)*(c)); if (DELTA > 0) { printf("Cette equation admet 2 solutions ,X1 et X2\n"); printf("X1 : %.2f\nX2 : %.2f\n",((-a-(sqrt(DELTA)))/2*b),((-a+sqrt(DELTA))/2*b)); } else if (DELTA == 0) { printf("Cette equation admet une solution X : \n"); printf("X : %.f\n",(-a/(2*b)); } else { printf("Cette equation n’a pas de solutions sur IR.\n\n"); } system("pause"); } Exercice 3 #include <stdio.h> main( ) { float

Corrigé d’exercices FA 10/11 (7) On égale les équations de d et de n et on obtient un système de trois équations à deux inconnues :    En résolvant le système formé des deux premières équations Œ et , on obtient t = 5 et s = 4. Un petit contrôle montre que le couple (5; 4) est également une solution de Ž. Par conséquent, on obtient les coordonnées du point I en substituant t = 5 dans les équations de d (ou s = 4 dans les équations de n) : I(4; 3; 0). (8) T ∈ n ⇔ T (−4 + 2s; 7 − s; 8