Équiprobabilité

Faire le lien entre le langage mathématique et le langage courant. ● Démontrer que la probabilité de pile est 0,5. 3 Prérequis Paragraphes introduits Savoir qu’une probabilité est un nombre. 2) Notion de probabilité a) Définition c) Équiprobabilité C om m e ntaire s Cette activité permet de débattre en classe de la notion de probabilité. C orrigé On a effectivement, en moyenne, une chance sur deux d’obtenir Pile. On n’obtient pas Pile exactement une fois sur deux. On obtiendrait P F P

de moins de 5 % si on observe 3 flacons qui ne passent pas le test. 39 NOTE Dans le spécimen et certains manuels, il faut en réalité lire le tableau suivant : Nb d’impacts Nb de zones 0 45 1 58 2 29 3 9 4 2 5 1 156 ≈ 1,08. 144 2. Il y a équiprobabilité entre les 144 zones donc la probabilité que la zone considérée soit touchée est 1 . 144 1 3. L’espérance est égale à 156 × ≈ 1,083. 144 4. Les probabilités de recevoir 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 impacts sont données par le tableau suivant : 1. La moyenne

les différents calculs dans le tableau suivant : Éléments A : Forte croissance B : Croissance modérée C : Ralentissement modéré D : Récession Espérance mathématique (1) Écart-type (2) Coefficient de variation (3=2/1) Espérance mathématique : Équiprobabilité (4) VAN minimale (5) VAN maximale (6) Espérance de Hurwicz (7 = 0, 6 × 6 + 0, 4 × 5) Probabilité 0,20 0,35 0,30 0,15 Projet I 5 100 4 000 400 -4 000 1 940 3 080 1,59 1 375 -4 000 5 100 1 460 Projet II 6 400 3 000 1 600 -5 200 2 030 3 471 1,71

on a : e e ` +∞ +∞ P n=0 An = n=0 P (An ). Lorsque Ω est fini, on prend pratiquement toujours A = P(Ω). 1 pour tout ωi ∈ Ω, (o` cardΩ est le nombre d’´l´ments de u ee cardΩ Ω) : chaque r´sultat a mˆme chance. On a alors : e e ´ Equiprobabilit´ : P ({ωi }) = e cardA . cardΩ Combinatoire : th´orie pour compter les ´l´ments d’un ensemble. e ee P (A) = Ind´pendance : (Ai )i∈I est une famille d’´v´nements ind´pendants si pour toute partie J finie e e e e   j∈J de I, P  Aj  =

prélevées, donc nous sommes dans une situation d’équiprobabilité. 2 1 a) Il y a 2 boules jaunes donc P (E ) = = . 10 5 3 b) Il y a 3 boules noires donc P (F ) = . 10 Exercice B Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte. On admet qu’il y a équiprobabilité des tirages. On définit les événements G et H suivants : G : « la carte tirée est un cœur » ; H :  « la carte tirée est une figure (valet, dame ou roi) ». Calculer : a) P (G ) et P (H )  ; ( ) b) P G  ; c) P (G ∩ H )  ; d) P (G ∪ H ). ̈ Solution

 … xn}. • On définit une loi de probabilité sur W en associant à chaque issue x1, x2, … xn les nombres réels p1, p2, … pn appartenant à l’intervalle [0 ; 1] et tels que : p1 + p2 + … + pn = 1 • On dit que la loi est équirépartie ou qu’il y a équiprobabilité lorsque tous les 1 nombres pi sont égaux à . n Propriétés • Si un événement A est réalisé par les issues {x1, x2, … xk} avec k р n, alors la probabilité de l’événement A, notée P(A), est égale à : p1 + p2 + … + pk • Dans une situation d’équiprobabilité :

___________________________________________________________________ DI GALLO Frédéric Page 130/230 26/01/2012 Reseaux-et-Systemes ______________________________________________________________________________ Ce codage fonctionne bien s’il y a une équiprobabilité d’occurrence des symboles. C’est un codage spécifique au jeu de données. Déroulement : 1. Ecrire la liste de tous les symboles et leur probabilité d‟occurrence. 2. Construire un arbre binaire dont les symboles sont les nœuds terminaux. 3. Trouver

suite que le « hasard à l’état pur » n’existe pas. 2. A quel moment se situerait le hasard à l’état pur ? Si un événement, un fait, quelque chose d’accidentel avait toujours, à chaque instant, les mêmes probabilités d’être et de ne pas être ( équiprobabilité). 3. Il est évident que dans ces conditions, rien n’existerait parce que : qu’une chose existe ou qu’elle n’existe pas, qu’une chose ou une autre se forme, ou même une autre différente, et ainsi à l’infini, la probabilité – dans le cas du pur

400 7 500 Espérance de Hurwicz (7 = 0, 6 × 6 + 0, 4 × 5) 1 460 1 760 2 180 A : Forte croissance B : Croissance modérée C : Ralentissement modéré D : Récession Coefficient de variation (3=2/1) Espérance mathématique : Équiprobabilité (4) Selon le critère de l’espérance mathématique, il faudrait retenir le projet III. Mais c’est celui qui présente également le plus grand écart-type. En calculant le risque de chaque projet (coefficient de variation), le projet I devient

253 b) c 2 Échantillonnage ΄ ΄ 24 Oui, car 0,49 ∈ 0,51 – * Les nombres obtenus colonne C donnent le nombre de filles de la famille. Obtenir la fréquence de ces nombres (0, 1 ou 2) avec NB.SI. b) Il ne semble pas y avoir équiprobabilité. Les familles avec une seule fille semblent plus fréquentes. 1 c) F p(2F) = 4 F G 1 p(sexe ≠) = 2 F G 1 G p(2G) = 4 33 p(yeux bleus) = 0,35. Avec la simulation proposée, on a p(pair) = 0,5 ≠ 0,35. 34 La fréquence dans l’échantillon