Équiprobabilité

Probabilités exercices corrigés 55 F. Laroche http://laroche.lycee.free.fr S D A B C 1. Une fourmi se déplace sur les arêtes de la pyramide ABCDS. Depuis un sommet quelconque, elle se dirige au hasard (on suppose qu’il y a équiprobabilité) vers un sommet voisin ; on dit qu’elle « fait un pas ». a. La fourmi se trouve en A. Après avoir fait deux pas, quelle est la probabilité qu’elle soit : • en A ? • en B ? • en C ? • en D ? b. Pour tout nombre entier naturel n strictement positif

effectif 111, 112 cumulé 111, 112 du couple 121 effectif et fréquences marginaux 121 ensemble(s) des événements 28 des parties 5 finis 9 équation de vraisemblance 132 154 Mathématiques L1/L2 : statistiques et probabilités en 30 fiches équiprobabilité 34 espace probabilisé 34 fini 33 espérance 105 mathématique 48, 73 estimateur 127 asymptotiquement sans biais 128 convergent 129 corrigé de la variance 129 de la moyenne 129 de la variance 129 du maximum de vraisemblance 131 relativement plus

De plus elle ne nécessite que l'estimation de deux paramètres (la moyenne et la variance). Dans ce dernier cas, lorsque les distributions gaussiennes d'appartenance à chaque sous-nuage sont de même matrice de covariance intraclasse et s'il y a équiprobabilité des classes (les probabilités locale ( a priori P @Iq A sont identiques), alors l'approche bayésienne est équivalente à aecter la classe du plus proche voisin en utilisant la distance de Mahalanobis cf. [LMP95] pour plus de détails)

Probabilités exercices corrigés 55 F. Laroche http://laroche.lycee.free.fr S C D A B 1. Une fourmi se déplace sur les arêtes de la pyramide ABCDS. Depuis un sommet quelconque, elle se dirige au hasard (on suppose qu’il y a équiprobabilité) vers un sommet voisin ; on dit qu’elle « fait un pas ». a. La fourmi se trouve en A. Après avoir fait deux pas, quelle est la probabilité qu’elle soit : • en A ? • en B ? • en C ? • en D ? b. Pour tout nombre entier naturel n strictement

probabilités 120 Baccalauréat S A. P. M. E. P. 111 Antilles–Guyane sept. 2000 Retour au tableau 1. Une fourmi se déplace sur les arêtes de la pyramide ABCDS. Depuis un sommet quelconque, elle se dirige au hasard (on suppose qu’il y a équiprobabilité) vers un sommet voisin ; on dit qu’elle « fait un pas ». a. La fourmi se trouve en A. Après avoir fait deux pas, quelle est la probabilité qu’elle soit : b. Pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on note : Sn l’évènement « la fourmi

apport à la décision, il sera possible de savoir s’il est intéressant ou non de se lancer dans telle ou telle recherche d’information. Exemple Après une première étude, trois hypothèses de résultat (VAN) sont envisagées avec (pour simplifier) équiprobabilité des événements : +10, +6, —4. Le résultat espéré en incertitude (en l’absence de système de prévision) est de: 10 + 6 – 4 = 4 3 164 Le résultat espéré en certitude (information parfaite avec système de prévision parfait fiable à 100 %)

variance commune. On définit la somme : Sn = X1 + X2 + ... + Xn et la moyenne : X1 + X2 + … + Xn M n = -------------------------------------------n On a alors : E(Mn) = µ E(Sn) = nµ Var(Sn) = nσ2 σ(Sn) = σ n σ2 Var(Mn) = ----n σ σ(Mn) = -----n équiprobabilité (equipossibility) Hypothèse qui pose que tous les évènements élémentaires d’un espace probabilisable fini ont la même probabilité. Cette hypothèse permet de ramener la détermination des probabilités à des calculs de dénombrements. Soit un

que le nombre de comptes épargne concernés par le nouveau placement soit compris entre 39 et 63. Chien ou chat 1 a. Puisque l’on interroge un foyer possédant un chien ou un chat, l’événement C signifie que le foyer possède un chat. Par équiprobabilité du foyer interrogé, 41 47,7 on a alors P (C) = = 0, 41, PC (M) = = 0, 477 100 100 55,5 et PC ( M ) = = 0,555 . 100 Puisque C et C forment une partition de l’univers, la formule des probabilités totales permet d’écrire : P(M) = PC (M) × P (C) +

probabilité qu’une personne fasse du tri sélectif sachant card ( J ∩T ) 700 7 qu’elle a moins de 40 ans est donc égale à = = et card ( J ) 1100 11 card ( J ∩T ) P ( J ∩T ) on a aussi = . card ( J ) P (J ) Plus généralement, et même s’il n’y a pas équiprobabilité, on utilisera des quotients analogues pour étudier ce type de probabilité liée à une condition. Activité 2 1  ans l’initialisation, 30 dates d’anniversaire sont fixées aléatoirement entre 1 D et 365 (on suppose qu’il n’y a pas d’année

le lien entre le langage mathématique et le langage courant. ●  Démontrer que la probabilité de pile est 0,5. Prérequis Savoir qu’une probabilité est un nombre. Paragraphes introduits 2) Notion de probabilité a) Définition c) Équiprobabilité C om m e ntaire s Cette activité permet de débattre en classe de la notion de probabilité. C orrigé On a effectivement, en moyenne, une chance sur deux d’obtenir Pile. On n’obtient pas Pile exactement une fois sur deux. On obtiendrait