Équiprobabilité

⎛ u ( f ( s )) ⎞ ⎜ s∈S ⎟ Lu ( f ) = max ⎜ ⎟ u ( f ) ⎜ card ( S ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (2.4) Néanmoins, cette solution semble assez limitée. En effet, une absence de connaissance réelle (état de connaissance que nous notons E0) est ici traduite par une équiprobabilité donc une certaine forme de connaissance (E1). Or, l’état E1 caractérise un niveau de connaissance supérieur à celui de E0. Or, au regard des nombreux paradoxes déjà identifiés, il semble difficile d’anticiper (et donc de décrire) le comportement

Ces probabilités à posteriori peuvent s’exprimer, au moyen de la formule de Bayes: p( ω i x ) = où: C p( x ω i ) p(ω i ) p( x ) (4.8) p( x ) = ∑ p( x ω k ) p(ω k ) (4.9) k =1 C étant le nombre de classes. L’hypothèse d’une équiprobabilité à priori de chaque classe revient donc à entraîner le perceptron multicouches de manière telle que ses sorties soient une bonne estimation de: 1 p( x ω i ) ~( ω x ) = C (4.10) p i ~( x ) p Chapitre 4 - De l’Utilisation du Perceptron Multicouches

+ 13,64 + 8,34 + 2,82 = 49,63% soit f2 = 0,4963 donc f2 ∈[0, 49 ; 0, 51]. Les fréquences observées appartiennent aux intervalles de fluctuation : on en conclut qu’il y a 95% de chances que les dés ne soient pas truqués. 74. n = 52 et, s’il y a équiprobabilité, 1 n= . 3 1 1 1 ⎤ ⎡1 I= ⎢ − ; + ; ⎣3 ⎦ 52 3 52 ⎥ I = [19, 47 % ; 47, 2 %] ; 11 17 ≈ 2115 % ; f2 = , ≈ 0, 4615 ; 52 52 24 f3 ≈ = 0, 326 9 . 52 Les trois fréquences observées appartiennent à l’intervalle de fluctuation, donc on ne peut pas écarter

exp´rience al´atoire r dE est l’ensemble de tous les resultats (ou e e issues) possibles de E . ´ Definition 19: Probabilit´ e ´ Une probabilite sur un univers Ω fini est une application p : Ω → [0; 1] v´rifiant e p(ω) = 1. ω∈Ω ´ ´ On dit qu’il y a equiprobabilite lorsque p est une fonction constante. ´ Definition 20: Espace probabilis´ e ´ Un espace probabilise est un couple (Ω, p) o` Ω est l’univers d’une exp´rience al´atoire u e e et p une probabilit´ sur Ω. Lorsque Ω est fini, on parle d’espace probabilis´

espérée pour un gain suivant la loi normale d’ espérance mathématique m et de variance égale à 2 . 4. Comparer à nouveau les trois projets A, B et C. 5. Trouver pour cet investisseur la prime de risque d’ projet D qui peut rapporter un 0 ou 2 avec équiprobabilité. Exercice 18 Un investisseur dispose d’ une somme d’ argent S = 1 u.m. Il a le choix entre : - décision d1 : placer l’ argent sous forme de dépôt dans une institution …nancière ; - décision d2 : acquérir des valeurs boursières ; - décision d3

Dans tous les cas, elles reposent sur des mêmes principes : • • On doit disposer d’une base de sondage, c’est à dire d’une liste complète et actualité des individus (unités de sondage) qui appartiennent à l’univers de l’étude. Il doit y avoir équiprobabilité de désignation des unités de sondage : chaque unité de sondage doit avoir la même chance d’être désignée. 4.4.1.2.3.1. La méthode probabiliste simple On dispose d’une base de sondage des individus (ou des entreprises) qui appartiennent à un

64 + 8,34 + 2,82 = 49,63% soit f2 = 0,4963 donc f2 ∈[0, 49 ; 0, 51]. Les fréquences observées appartiennent aux intervalles de fluctuation : on en conclut qu’il y a 95% de chances que les dés ne soient pas truqués. 74. n = 52 et, s’il y a équiprobabilité, 1 n= . 3 1 1 1 ⎤ ⎡1 I= ⎢ − ; + ; ⎣3 ⎦ 52 3 52 ⎥ I = [19, 47 % ; 47, 2 %] ; 11 17 ≈ 2115 % ; f2 = , ≈ 0, 4615 ; 52 52 24 f3 ≈ = 0, 326 9 . 52 Les trois fréquences observées appartiennent à l’intervalle de fluctuation,

di le degré de vi , et ω(G) le nombre de sommets d’une clique maximale, appelé le nombre de clique de G. n ≤ 1 1 1− , 2 p−1 Proposition. On a ω(G) ≥ i=1 1 . n − di 238 Raisonnements divins 1 Choisissons au hasard, avec équiprobabilité n! , une permutation π de l’ensemble des sommets. À réindexation près, on peut noter π = v1 v2 . . . vn cette permutation. Construisons l’ensemble Cπ suivant : on met vi dans Cπ si et seulement si vi est adjacent à tous les vj (j < i) qui précèdent

probabilité qu’une personne fasse du tri sélectif sachant qu’elle a card( J ∩T ) 700 7 = = moins de 40 ans est donc égale à et on a aussi card( J ) 1100 11 card( J ∩T ) P ( J ∩T ) . = card( J ) P (J ) Plus généralement, et même s’il n’y a pas équiprobabilité, on utilisera des quotients analogues pour étudier ce type de probabilité liée à une condition.  Activité 2 ■ ᕡ Dans l’initialisation, 30 dates d’anniversaire sont fixées aléatoirement entre 1 et 365 (on suppose qu’il n’y a pas d’année bissextile)

ENTRAÎNEMENT 7 Les issues « pile » et « face » ont des probabilités p et q telles que : p + q = 1 et q = 2p ; 1 2 Il en résulte p = et q = . 3 3 8 p(6) = 1 – 0,80 = 0,20. 17 Affirmation C 9 p = 0,14 4 10 a. x = 18 Étude statistique pour A, B et D. Equiprobabilité, donc dénombrement de toutes les issues et de celles qui sont favorables, pour C. x=–1 b. 3 11 Affirmation C 4 12 p = 19 Exercice corrigé en fin de manuel. 11 20 1 13 a. p({2 ; 4 ; 6}) = 1 b. p({3 ; 6}) = 3 1 c. p({6}) = 6 2 d. p({2 ;