Espace Libre

c Christophe Bertault - MPSI Espaces euclidiens Dans ce chapitre, on travaille seulement avec le corps de base R. Les lettres n, p, q . . . désignent des entiers naturels non nuls. Produit scalaire, norme et distance 1 1.1 Produit scalaire Définition (Produit scalaire, espace préhilbertien réel, espace euclidien) • Soit E un K-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique définie positive, i.e. toute application (·|·) : E × E −→ R : ¬

donc à est un espace vectoriel de dimension La famille de polynômes définis par pour est une famille libre de Considérons Posons On a Si alors réels : tels que Nous avons dit qu’un polynôme de degré quand il n’est pas nul ne peut prendre la valeur 0 que pour au plus nombres réels. Ici, ce polynôme prendrait la valeur 0 pour une infinité de réels : il est donc nul et donc La famille étant libre, comme elle contient vecteurs dans un espace de dimension c’est une base de cet espace. peut donc s’écrire

 I. Sous espace vectoriel stable – Polynôme d’endomorphisme 1. Sous espace vectoriel stable (SEV) Définition : sous espace vectoriel de . On dit que est stable par si . Conséquence : Si et stable par . On définit l’induit de sur  : Exemples fondamentaux et sont stables par  : , , , alors stable par , Montrons que  : Donc , et base de  : stable par car : Proposition : Soit un SEV de E. Si et . Soit base de . Soit base de (TBI). Alors s’appelle une base de

privés), architectes. Mutualisations et coordination La réalisation d’un macrolot permet de mutualiser plusieurs éléments d’un programme complexe, selon des modalités diverses : mutualisation des espaces verts ou des espaces libres, mutualisation du stationnement auto­ mobile en sous-sol, à l’air libre ou en silos, etc. La mutualisation nécessite la coordination architecturale et construc­ tive des différentes unités programmatiques qui constituent un macrolot : coordination des architectes sous

réaménager, de la rénovation urbaine ou de la revitalisation urbaine qui participent à la réaffectation, au recyclage, à la réutilisation ou à la reconversion d’espaces bâtis ou non et contribuent ainsi à ce que ces espaces ne soient pas des espaces perdus, mais se transforment en de nouveaux espaces réutilisés. L’urbain a ceci de fascinant qu’il est en constante mutation : qu’il soit en étroite interdépendance avec la campagne avoisinante ou le centre des activités secondaires et tertiaires, il ne cesse

bij 1 i n. 1 j p • Si A ∈ Mn,p (K) et si λ ∈ K, on appelle multiplication de A par le scalaire λ, notée λA, la matrice λaij 1 i n. 1 j p • Muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire définies ci-dessus, Mn,p (K) est un K-espace vectoriel de dimension finie np. Son vecteur nul est la matrice nulle de taille n × p. • Pour tout (i, j) ∈ 1, n × 1, p , si Ei,j est la matrice dont le coefficient de position (i, j) est égal à 1 et dont tous les autres coefficients sont nuls, alors

matrice   1 0 1 A= 0 1 0  1 0 2 2. En d´eduire une diagonalisation de la matrice A dans une base orthonorm´ee. Exercice 3 Soit E un espace euclidien de dimension n muni du produit scalaire not´e < ·, · > et f un endomorphisme non nul de E qu’on suppose antisym´etrique, c’est-`a-dire tel que < f (x), y >= − < x, f (y) > pour tous x, y ∈ E. 1. Si F est un sous-espace vectoriel de E on note F ⊥ son orthogonal, d´efini par F ⊥ = {y ∈ E, < x, y >= 0 ∀x ∈ F }. 1.a. Montrer que Im(f ) = (Ker(f ))⊥ . 1

l’algèbre linéaire par des notions sur les espaces vectoriels et le calcul matriciel ainsi qu’en termes de résolution de systèmes linéaires. Calcul dans Թ Notions élémentaires sur les ensembles Pré-reqcuis recommandé Mode d’évaluation Contrôle final (2h) contrôle de rattrapage (1h30) Déroulement du cours Cours magistraux (25h) Travaux dirigés (15h) Support du cours Polycopié du cours Séries d’exercices corrigés Contenu du cours Chapitre 1 : espaces vectoriels réels I- LCI et LCE II- Structure

. . . . e e e e 3.2.1 Espaces vectoriels, applications lin´aires . . . . . . . . e 3.2.2 Formes bilin´aires sym´triques et formes quadratiques e e ´ 3.3 REDUCTION DES ENDOMORPHISMES . . . . . . . . . . 3.3.1 Sous-espaces stables, polynˆmes d’un endomorphisme o 3.3.2 R´duction d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . e 3.4 Espaces euclidiens, g´om´trie euclidienne, espaces hermitiens e e 3.4.1 Espaces pr´hilbertiens r´els . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.4.2 Espaces euclidiens . . . . . .

s’exprimer, transgressant les stéréotypes, les genres et les règles. Ainsi Eugéne Iounesco, dramaturge du XXe siècle, déclara :" le thêatre est le lieu de la plus grande liberté, de l'imagination la plus folle". Peut on dire que le thêatre est un genre libre ayant pour but de motiver l'imagination ? Dans un premiers temps nous verrons en quoi le théâtre est-il un lieu de libertés, puis dans une deuxième partie quels sont les différentes contraintes que rencontre le théâtre. 1) Le théàtre moderne peut