Espace vectoriel euclidien

Du 29 mars au 2 avril 2010 Programme de colle N° 22 XX. Espaces vectoriels K d´signe le corps R ou C e I. Structure d’espace vectoriel 1. D´finition d’un espace vectoriel e 2. D´finition d’une alg`bre e e II. Sous-espace vectoriel 1. D´finition e 2. L’intersection de sev est un sev III. Somme de deux sev 1. D´finition e 2. Somme directe 3. Sous-espaces suppl´mentaires e IV. Sous-espace engendr´ par une partie e V. Espace vectoriel produit VI. Applications lin´aires e 1. D´finition e 2. La compos´e

Espaces vectoriels et applications lin´aires e 1 D´finitions e On parle d’espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les d´finitions sont les e mˆmes en substituant R ` C ou vice versa. e a D´finition 1.1. Un espace vectoriel sur R (resp. sur C) est un ensemble E muni de deux e op´rations. e D’abord d’une addition, c’est ` dire qu’` tout couple v, w ∈ E on peut associer v + w ∈ E a a tel que les r`gles de calcul ordinaires dans Rn (resp. Cn ) aient lieu. A savoir e

(P4 ) n’est pas v´rifi´e, car GLn n’est pas un sous-espace vectoriel (il ne contient pas le ee e e vecteur nul). La propri´t´ (P5 ) est v´rifi´e, car GLn est un groupe. ee e e I.B.1. Si l’on note (e1 , . . . , en ) une base, et si A est triangulaire dans cette base, il vient Aen = an,nen , ce qui signifie que en est vecteur propre associ´ a la valeur propre an,n. e` On en d´duit que la propri´t´ (P6 ) n’est pas v´rifi´e, car Vect(en ) est un sous-espace de dimension 1, e ee e e stable par tous les ´l´ments

02 – vecteur directeur d’une droite : 1. Définition : Une droite (D) est donnée et A et B sont deux point distincts de (D). Le vecteur u = AB est un vecteur directeur de la droite (D). Remarque : Un vecteur directeur n’est jamais nul Autrement dit, le vecteur nul n’est le vecteur directeur d’aucune droite. 2. Propriété : (D) et (D’) sont deux droites, u est un vecteur directeur de la droite (D) et u’ est une vecteur directeur de la droite (D’). Alors : (D) et (D’) sont parallèles

Chapitre 2: espaces vectoriels Soit K un corps Un K – espace vectoriel est un ensemble muni de deux lois: - une loi interne V x V ------> V (u,v) |-------> u + v - une loi externe K x V ------>V (λ,v) |-------> λ ⋅ v telles que les axiomes suivants sont satisfaits: 1) (V,+) est un groupe abélien 2) (λ + µ)⋅v = λv + µv 3) (λ⋅µ)v = λ(µ⋅v) ∀ λ,µ ∈ K et ∀ v, w ∈ V 4) λ(v + w) = λv + λw 5) 1K⋅ v = v Les éléments u, v, w de V sont appelés des vecteurs Les éléments λ, µ,… de K sont appelés des scalaires

forment une famille libre d’un espace de (( ) ). dimension , c’est une base de c) On pose ( ( ( ) ses coordonnées dans la base canonique ) et )( ) ( ) ( { On prend, par exemple )( ) { ( , { ) (( Les composantes de ne vérifient pas { ( ) ) ) donc { (( ) ), de plus ( ) est une (( ) ) par conséquent ( famille libre de ) est une famille libre, elle a trois vecteurs dans (( ) ). un espace vectoriel de dimension trois, c’est une

localement intégrable}. On a alors C(I, R) ⊂ Loc(I, R) et l’inclusion est stricte. Comme exemple la fonction f (x) = [x], (partie entière de x) est localement intégrable mais non continue. Proposition 4.1.1 L’ensemble Loc(I, R) est un sous-espace vectoriel de F (I, R), (espace de toutes les fonctions définies de I dans R). 4.2 L’intégrale de F ourier Pour conclure l’étude de la théorie des séries de F ourier, on examinera le cas limite où l’intervalle ] − ℓ, ℓ[, dans lequel on étudie la série de F ourier

des conditions e e e d´finies dans la circulaire n◦ 99-186 du 16/11/99. e UTILISATIONS DES MATRICES COMPAGNON Notations et d´finitions : e Dans tout le probl`me K d´signe R ou C et n est un entier naturel. e e Si u est un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E, on note u0 = idE et ∀n ∈ N, un+1 = un ◦ u. On note Kn [X] la K-alg`bre des polynˆmes de degr´ inf´rieur ou ´gal ` n, Mn (K) la K-alg`bre e o e e e a e des matrices carr´es de taille n ` coefficients dans K de matrice unit´ In et GLn (K) le groupe

puisqu’elle converge donc la suite yn n∈N est aussi born´e. Le th´or`me de Bolzano-Weierstrass donne e e e alors l’existence d’une suite (yϕ(p) )p∈N extraite de (yn )n∈N qui converge dans E. Mais, quand E est de dimension finie, tous ses sous-espaces vectoriels sont ferm´s donc H est ferm´. Comme ∀p ∈ N, yϕ(p) ∈ H, e e on a z0 = lim yϕ(p) ∈ H. D’autre part, la suite x0 −yϕ(p) p∈N est extraite de la suite x0 −yn n∈N p→+∞ E3A, 2007, MP, Math´matiques A e 3/5 qui converge vers d(x0 , H) donc

Soient S un espace mesuré, p, q > 0 (la valeur +∞ étant permise) vérifiant la « relation de conjugaison » f ∈ Lp(S) et g ∈ Lq(S). Alors, le produit fg appartient à L1(S) et sa norme est majorée naturellement : Plus généralement1, pour 0 < p, q ≤ +∞ et r défini par 1/r = 1/p + 1/q, si f ∈ Lp(S) et g ∈ Lq(S) alors fg ∈ Lr et ║fg║r ≤ ║f║p ║g║q. De plus, lorsque p et q sont finis, il y a égalité si et seulement si |f|p et |g|q sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il