Espace vectoriel euclidien

Preparation a l’Agregation Interne 13 D´cembre 2008 e 1 Quelques exercices sur la dualit´ e Exercice 1. Soit E un espace vectoriel de dimension finie B, B deux bases de E. Notons P la matrice de passage de B a B . Quelle est la matrice de passage de la base duale B ∗ de B a la base duale (B )∗ ` ` de B ? Exercice 2. Soient a et b deux points distincts de K. Sur le K espace vectoriel E des polynˆmes de degr´ o e 3, on consid`re les formes lin´aires f1 : P → P (a), f2 : P → P (a), f3 : P → P (b), f4

2011/12 Série d'exercices d'analyse fonctionnelle n 4 ◦ Exercice 1 Soit E un espace vectoriel normé. 1) Montrer qu'un ouvert faible est un ouvert fort. 2) Montrer que E = (E, σ(E, E )) . En particulier les ensembles {x ∈ E, f, x < α} où f ∈ E et α ∈ R sont des ouverts faibles. 3) Montrer que si E est de dimension nie alors σ(E, E ) est égale à la topologie associée à la norme de E . Soit E un espace vectoriel normé de dimension innie. Nous allons montrer que la sphère unité S = {x ∈ E, x =

Colinéarité de deux vecteurs I) Propriété caractéristique de colinéarité de deux vecteurs : 1) Définition Deux vecteurs non nuls, et sont colinéaires si, et seulement si, il existe un nombre réel non nul tel que = . Exemple : = et . sont colinéaires Remarque : • Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction. • Le vecteur nul 0 est colinéaire à tous les vecteurs. Exemples : a) ( 2 ; – 3 ) et donc b) ( donc c) ( 10

Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 et B = (e1 , e2 , e3 ) une base de E. On consid`re f l’application lin´aire de E vers E telle que : e e f (e1 ) = e1 + e2 + e3 , f (e2 ) = 2e1 − e2 + 2e3 , f (e3 ) = 4e1 + e2 + 4e3 1) Quelle est la matrice A de f dans la base B ? Si u ∈ E a pour coordonn´es (x1 , x2 , x3 ) dans e la base B, quelles sont les coordonn´es de f (u) dans la base B ? e 2) Calculer f (e1 + 2e2 ). 3) D´terminer le noyau et l’image de f . e 4) Ces sous-espaces vectoriels de E sont-ils

Cours Algébre Linéaire : Espaces Vectoriels réels Matrices Applications Linéaires Systèmes Linéaires Université Cheikh Anta Diop de Dakar Faculté des Sciences Economiques et de Gestion Première Année Babacar M. NDIAYE. Année 2010-2011. LMDAN, babacarm.ndiaye@ucad.edu.sn http ://lmdan.ucad.sn Notes Ces notes de cours correspondent à un enseignement de première année de la FASEG. Ceci ne constitue qu’une première version et les chapitres manquants seront complétées au fur et à mesure qu’on avancera

Chapitre 4 - les applications linéaires Rétour sur le cours du 29 X 2007 ► Définition ● Soient E et F deux espaces vectoriels sur IR, et soit f(.) une application de E dans F. f est une application linéaire si et seulement si l’on a : (X(E, (Y(E, (α ( IR, (β ( IR, f(αX+ β Y) = αf(X)+ βf(Y). ● L’application f1(.), par exemple, de IR² dans IR², définie par f1 = , est une application linéaire. En effet, (( IR², (( IR², (α ( IR, (β ( IR, on a : f1 = αf1 + βf1. Vérification : αf1 + βf1

Algébre linéaire:compléments M.el kati 20 septembre 2013 Table des matières 1 Application linéaire et sous-espaces vectoriels 1.1 codimension : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Rang d’une application linéaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 . . . . 4 4 4 4 6 3 Dualité 3.1 Hyperplan et formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Bases duales . . . . .

Projecteurs. DEF : un projecteur d’un espace vectoriel E est un endomorphisme dont le carré est égal à lui-même : p projecteur de E ⇔ p ∈ L (E) p2 (= p ◦ p) = p Les projections vectorielles définies précédemment sont évidemment des projecteurs ; mais la réciproque est vraie : PROP : Tout projecteur p de l’espace vectoriel E est une projection de base Im p = ker (p − idE ) et de direction ker p = Im (p − idE ) . D1 Les mots ”projecteur” ou ”projection (vectorielle)” peuvent donc être employés de manière

Les vecteurs I. Translation de vecteur AB Si je fais glisser le bateau 1 le long de la droite (d) de A vers B, j’obtiens le bateau 2. Ce glissement est appel´e translation de vecteur AB Par cette translation de vecteur AB, le point C a ´et´e transform´e en le point D. On dit que D est l’image de C par la translation de vecteur AB. On ´ecrit que AB CD a dire que la figure ABDC est un parall´ elogramme. Dire que AB CD revient ` A savoir : AB CD ´equivaut ` a dire ABDC est un parall´elogramme (´eventuellement

Espace vectoriel R n Chapitre 1 n L’espace vectoriel R I. Définition . Soit n  N  . R n  x1 , x2 .,.., xn  / x1 , x2 .,.., xn  R Exemples. 1) R1  R . 2) R 2  x, y  / x, y  R . 3) R 3  x, y, z  / x, y, z  R Définition . Dans R n , on définit les deux opérations suivantes : a) L’Addition interne : Soient x1 , x2 .,.., xn   R n et  y1 , y2 .,.., yn   R n , alors on a : x1 , x2 .,.., xn    y1 , y2 .,.., yn   x1  y1 , x2  y2 .,.., xn  yn  R n . Cette opération