Espace vectoriel euclidien

tensorielle, qui n'est pas exhaustive, sans doute, mais qui a pour seul but celui d'introduire le formalisme tensoriel et les résultats dont on fera usage dans les chapitres suivants. Dans le même chapitre sont rappelés aussi des éléments d'analyse vectorielle et de géométrie différentielle qui seront eux aussi utilisés dans la suite du cours. Le chapitre 2 est consacré à un sujet particulier, à mi-chemin entre les mathématiques et la mécanique, celui des vecteurs appliqués. Certaines connaissances des

Compléments d’algèbre linéaire 1 Somme directe de sous-espaces, sous-espaces stables 2 Réduction des endomorphismes 3 Réduction d’une matrice 1 1 7 11 Chapitre 2 Algèbre bilinéaire 1 Produit scalaire 2 Espaces euclidiens 3 Endomorphismes symétriques 24 24 35 43 Chapitre 3 1 2 3 4 Cas des fonctions de signe quelconque 59 59 64 71 77 Éléments de topologie de Rn Rappels sur Rn Distance euclidienne Ouverts et fermés Parties convexes 88 88 91 94

. . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Le compl´ment de Schur ; ses factorisations associ´es e e 1.4 Les matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Noyaux, images et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Quelques aspects euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Les matrices d´finies-positives (>>0) . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6 9 12 13 14 15 2 Les op´rateurs de projection et sym´trie orthogonale e e 18 2.1 Projection orthogonale sur un

ai,j bi,j . L’application ( | ) est donc le produit scalaire canonique de Mn (R), pour lequel la base canonique est une base orthonormale. 4. M + tM M − tM M + tM M − tM + avec ∈ Sn (R) et ∈ An (R). Comme 2 2 2 2 An (R) ∩ Sn (R) = {0}, les deux espaces sont suppl´mentaires. Ils sont ´galement orthogonaux car, pour e e A ∈ An (R) et S ∈ Sn (R), Si M ∈ Mn (R), on a M = (A | S) = Tr t AS = −Tr (AS) = −Tr (SA) = −Tr t SA = −(S | A), et donc (A | S) = 0. 5. Si A est une matrice quelconque, la

nombre important de variables, aucune représentation graphique simple ne permet de visualiser le nuage de points formé par les données. L’ACP propose une représentation dans un espace de dimension réduite, permettant ainsi de mettre en évidence d’éventuelles structures au sein des données. Pour cela, nous recherchons les sous-espaces dans lesquels la projection du nuage déforme le moins possible le nuage intial. Dans la suite, nous identifions un vecteur x ∈ Rp avec la matrice colonne de ses coordonnées

1 0 1 A= 0 1 0  1 0 2 2. En d´eduire une diagonalisation de la matrice A dans une base orthonorm´ee. Exercice 3 Soit E un espace euclidien de dimension n muni du produit scalaire not´e < ·, · > et f un endomorphisme non nul de E qu’on suppose antisym´etrique, c’est-`a-dire tel que < f (x), y >= − < x, f (y) > pour tous x, y ∈ E. 1. Si F est un sous-espace vectoriel de E on note F ⊥ son orthogonal, d´efini par F ⊥ = {y ∈ E, < x, y >= 0 ∀x ∈ F }. 1.a. Montrer que Im(f ) = (Ker(f ))⊥ . 1.b. En

applications linéaires Chapitre 17 : Matrices et applications linéaires 17.1 Matrices et applications linéaires 17.1.1 Matrice d’une famille de vecteurs dans une base Définition 17.1.1 (matrice d’une famille de vecteurs dans une base) Soit E un K-espace vectoriel, de dim n 1, muni d’une base ε = (εi )1 Soit v = (vj )1 j p i n. n une famille de p vecteurs de E. Pour tout j de {1, . . . , p}, posons vj = aij εi . i=1 La matrice de Mn,p (K) de terme général aij est appelée matrice de la famille v dans

lin´aires . . . . . . . . e 3.2.2 Familles g´n´ratrices . . . . . . . . . e e e 3.2.3 Familles libres et familles li´es . . . 3.2.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Rang et dimension . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Dimension d’un sous-espace vectoriel 3.3.2 Rang d’une famille de vecteurs . . . 3 5 9 9 9 9 10 10 11 11 12 15 17 18 18 20 21 21 22 23 25 25 26 27 29 29 30 31 33 33 34 34 35 36 38 39 39 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

créer un lien de votre site vers mon site, à condition que ce lien soit accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. SERIES DE FOURIER PLAN Préambule historique I : Espace préhilbertion des fonctions 2π-périodiques 1) Produit scalaire, norme 2) Famille orthonormale 3) Coefficients de Fourier II : Développement en série de Fourier 1) Convergence en moyenne quadratique 2) Convergence normale 3) Convergence simple et uniforme

X0 •  à t+1: [R 0, R 1,… R r-1] : Pt+1(X) = R r-1.Xr-1+ R r-2.Xr-2 + …+ R 0.X0 = (Rr-2 + gr-1.Rn-1)Xr-1+…+ (Ri-1 + gi.Rn-1)Xi+…+(vin+ g0.Rn-1)X0 = X.Pt(X) - Rn-1.g(X) + vin.X0 = [ X.Pt(X) mod g(X) ] + vin.X0 •  Si K=corps : Reste division euclidienne polynômiale par g(X) dans K[X] 61 Plan du cours •  •  •  •  Introduction : Notion de code Définition, distance, effacements et erreurs Code de Hamming Codes détecteurs d erreur –  –  –  –  LFSR et polynômes. Corps de Galois