Espace vectoriel

Exo7 Espaces vectoriels ❱✐❞é♦ ❱✐❞é♦ ❱✐❞é♦ ❱✐❞é♦ ❱✐❞é♦ ❱✐❞é♦ ❱✐❞é♦ ❱✐❞é♦ ■ ♣❛rt✐❡ ✶✳ ❊s♣❛❝❡ ✈❡❝t♦r✐❡❧ ✭❞é❜✉t✮ ■ ♣❛rt✐❡ ✷✳ ❊s♣❛❝❡ ✈❡❝t♦r✐❡❧ ✭❢✐♥✮ ■ ♣❛rt✐❡ ✸✳ ❙♦✉s✲❡s♣❛❝❡ ✈❡❝t♦r✐❡❧ ✭❞é❜✉t✮ ■ ♣❛rt✐❡ ✹✳ ❙♦✉s✲❡s♣❛❝❡ ✈❡❝t♦r✐❡❧ ✭♠✐❧✐❡✉✮ ■ ♣❛rt✐❡ ✺✳ ❙♦✉s✲❡s♣❛❝❡ ✈❡❝t♦r✐❡❧ ✭❢✐♥✮ ■ ♣❛rt✐❡ ✻✳ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ✭❞é❜✉t✮ ■ ♣❛rt✐❡ ✼✳ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ✭♠✐❧✐❡✉✮ ■ ♣❛rt✐❡ ✽✳ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ✭❢✐♥✮ La notion d’espace vectoriel est une structure fondamentale des mathématiques modernes. Il s’agit de dégager

résultats 1.1 Espaces Vectoriels Réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Notion d'espace vectoriel réel . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Sous-espace vectoriel réel . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Bases et Dimension d'un espace vectoriel réel . . . . . 1.1.4 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Complexication d'un espace vectoriel réel . . . . . . . Espaces anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Espaces anes . . . .

GENERALE ESPACE VECTORIEL SOUS-ESPACE VECTORIEL Soit ( ?, + ? ,×) un corps commutatif. Soit (E,+ ? ) Une partie F non vide d’un ?-espace vectoriel un groupe abélien. E muni d’une LCI + ? et d’une (?, + ? ,∙ ? ) est un sous-espace vectoriel de E si : LCE ∙ sur ? est un ?-espace vectoriel si la LCE vérifie les conditions suivantes : i. (F, +E) est un sous groupe de (E, +E) ii. ∀ ? ∈ ?, ∀ ? ∈ ?, ? ∙ ? ∈ ?. ( ?, ?) ∈ ?2 , ∀ ? ∈ ?, ? ∙ ( ? ∙ ?) = i. ∀ Une partie F non vide d’un ?-espace vectoriel

premi`re ann´e, la maˆ e e ıtrise du calcul diff´rentiel et int´gral ` une variable et de ses interventions en g´om´trie e e a e e diff´rentielle plane constitue un objectif essentiel. e En seconde ann´e, le programme introduit le concept d’espace vectoriel norm´ et d’application lin´aire continue, e e e afin de fournir un cadre coh´rent pour l’´tude des suites, des s´ries et des fonctions et celle des suites et des s´ries e e e e de fonctions. L’int´gration, la repr´sentation des fonctions, notamment

des matières 1 2 3 Calcul différentiel 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Applications à valeurs dans un produit d’espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Applications de plusieurs variables et dérivées partielles . . . 1.2 Le théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Résultats principaux . .

. . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Calcul de l'inverse d'une matrice carrée d'ordre n . . . 2.4.2 Résolution de systèmes linéaires ( Méthode de Cramer ) 3 Espaces Vectoriels 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3 4 4 5 5 7 7 10 10 13 15 15 16 17 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . Famille Génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . Dépendance et Indépendance Linéaires - Bases . Existence de Bases ( en dimension

1 1 I.Harlouchet-en eskuhartzearekin 2 i Introduction Ce cours d’algèbre linéaire se compose de 9 Chapitres. Dans le premier Chapitre on rappelle la définition et on donne sans démonstration les résultats classiques sur les espaces vectoriels et les applications linéaires (théorème de base incomplète, théorème de la dimension, etc. . .), avec en annexe une discussion de la notion d’application injective, surjective, bijective, illustrée par l’introduction des fonctions inverses des

Espaces vectoriels norm´s e Table des mati`res e A. Topologie des espaces vectoriels norm´s e I. Normes 1) D´finition . . . . . . . . . . . . . . . e 2) Distance associ´e ` une norme e a 3) Normes ´quivalentes . . . . . . . . e 4) Exemples de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 5 7 II. D´finitions ensemblistes e 1) Boules, parties

dans la base canonique est donn´e par e 1 0 1   A =  −1 2 1  . 1 −1 1 1. Montrer que f est trigonalisable. 2. Montrer que l’espace propre associ´ ` la valeur propre 1 est de dimension 1. Montrer que ea u = (1, 1, 0) est un vecteur non-nul de cet espace propre. 3. Montrer que v = (0, 0, 1) est tel que (f − idR3 )(v) = u. 4. Chercher un vecteur propre w associ´ ` la valeur propre 2. Montrer que (u, v, w) est une ea base de R3 . Calculer la matrice T de f dans la base (u, v, w). 5. Calculer f k (v)

Espaces m´triques (en fait evn) e Exercice 1. Ouverts disjoints ◦ ◦ Soient U, V deux ouverts disjoints d’un espace vectoriel norm´. Montrer que U et V sont disjoints. e Donner un contrexemple lorsque U et V ne sont pas ouverts. Exercice 2. A ouvert disjoint de B Soient A, B deux parties d’un espace vectoriel norm´ disjointes. Si A est ouvert, montrer que A et B sont disjoints. e ◦ Exercice 3. U = U . ◦ Soit U un ouvert d’un espace vectoriel norm´. Montrer que U = U . e Exercice 4. Fronti`re