Espace vectoriel

l’espace vectoriel associé. r V Une fonction vectorielle F qui associe à tout point P derl’espace (ε) un vecteur r de l’espace (E) définit un champ de vecteurs. On note V = F (P ) 1.2. Champ uniforme r r Considérons la fonction vectorielle F qui associe au point P un vecteur V = F (P ) r r et au r point rQ un vecteur V ' = F (Q ) . Si F (Q ) = F (Q ) quelque soit P et Q ∈ (ε ) , alors on dit que le champ de vecteurs est uniforme. 1. 3. Champ de moments r r Considérons la fonction vectorielle F qui associe

........................................................ 26 13 – CHOC DE 2 POINTS...................................................................................................................................... 31 Notions sur le produit vectoriel !"# $ %!&' ( % $) ''* + ! , ∧ -. I Définitions ' ' + # #( '0 1 + ! 23 & $& %! ) '* '% # & ! % "& '% +) ! ! +* ! ( +) & ) $4 ' +)'% " ! %&' & ) !$) ) ''* # !%* &'' #) !$) ) ''* # !%* &'' 5 % ( 9 #& 4 6 % ( !$) 4) ''* 7 % ( #) % ) 50 60

méthodes   pour   en   déterminer   son  sens  trigonométrique et sa valeur. S'il  y  a plusieurs  forces,  il  faut  additionner  les  moments  en  prenant en compte leur signe. I. MÉTHODE DU PRODUIT VECTORIEL : Cette méthode fonctionne dans la majorité des cas. Elle consiste à faire le produit vectoriel de  vecteur distance (entre le point et le point d'application de la force) et le vecteur force. Avec l'énoncé I(10;12;0), J(12;15;0) (en m) et  150 ; 30 ; 0 (en N). F     Ici cela donnerait :

V2 = 4 j ∧ 1,5 j = ((−3).1 − (−7,5).(−5) ) j = −40,5 j = − V2 ∧ V3 r r r  r  ( ) k k k k − − ( − 3 ). 4 − 1 , 5 .( − 5 ) = 4 , 5 7 , 5    V3 ∧ V2 = −V2 ∧ V3 Le produit vectoriel n’est pas commutatif. Application : La norme produit vectoriel sont les vecteurs V1 ∧ V2 fournit une mesure de la surface du parallélogramme dont les côtés V1 ,V2 . V1 ∧ V2 = S12 ( ) . Le produit mixte V1 • V2 ∧ V3 = 0 . r r r r r V1 ,V2 et V3 se trouvent

produit scalaire, vectoriel et projection de vecteurs. Calculer des dérivées, en particulier des dérivées de fonctions composées. Étudier des fonctions. Appliquer les développements limités au calcul de limites. Étudier une variable aléatoire suivant une loi normale. Estimer une moyenne, une variance, une fréquence. Tester l'égalité de moyennes, de fréquences. Prérequis : Niveau d'un bachelier scientifique ou technologique. Contenus : Étude des polynômes. Calcul vectoriel (produit scalaire

nombre important de variables, aucune représentation graphique simple ne permet de visualiser le nuage de points formé par les données. L’ACP propose une représentation dans un espace de dimension réduite, permettant ainsi de mettre en évidence d’éventuelles structures au sein des données. Pour cela, nous recherchons les sous-espaces dans lesquels la projection du nuage déforme le moins possible le nuage intial. Dans la suite, nous identifions un vecteur x ∈ Rp avec la matrice colonne de ses coordonnées

emploierons dans ce cours et de pr´senter les probl`mes que nous ´tudierons. Nous come e e men¸ons d’abord par de brefs rappels et par des notations et d´finitions c e diverses. 1. D´finitions, notations et rappels. e 1.1. Points et sous-ensembles des espaces euclidiens. R sera le corps des nombres r´els et C sera celui des nombres complexes. Nous travaillerons e la plupart du temps dans Rn et n d´signera toujours la dimension. Les e n points de R seront g´n´ralement not´s x, y, ξ, η ; les coordonn´es

(uk )k>0 ∈ F, u = (uk )k>0 ∈ F, alors les s´ries de termes g´n´raux |uk | et |uk | convergent, e e e donc, comme |αuk +uk | |α| |uk |+|uk |, la s´rie de terme g´n´ral |αuk +uk | converge, et donc αu+u ∈ F. e e e On conclut que F est un C-sous-espace vectoriel de E. 1.b). Sn (v) = k=0 n 1 − z n+1 z = si z = 1 1−z k n et Sn (v) = k=0 1 = n + 1 si z = 1. 2. On a, pour tout n ∈ N : donc, comme la s´rie de terme g´n´ral e e e +∞ un xn |x|n converge (cours), la s´rie de terme

1 0 1 A= 0 1 0  1 0 2 2. En d´eduire une diagonalisation de la matrice A dans une base orthonorm´ee. Exercice 3 Soit E un espace euclidien de dimension n muni du produit scalaire not´e < ·, · > et f un endomorphisme non nul de E qu’on suppose antisym´etrique, c’est-`a-dire tel que < f (x), y >= − < x, f (y) > pour tous x, y ∈ E. 1. Si F est un sous-espace vectoriel de E on note F ⊥ son orthogonal, d´efini par F ⊥ = {y ∈ E, < x, y >= 0 ∀x ∈ F }. 1.a. Montrer que Im(f ) = (Ker(f ))⊥ . 1.b. En

la frappe au kilomètre ». On indique seulement le changement de paragraphe en appuyant sur Entrée. Définition : Les éléments constitutifs d'un texte    Le caractère est l'élément de base d'un texte. Le mot est une suite de caractères sans espace. Le paragraphe est une suite de caractères terminés par un caractère de fin de paragraphe représenté par ¶ . La ligne n'est pas un élément constitutif d'un texte. Elle est formée d'une suite de mots qui tiennent sur la même ligne mais peut être