Faille normale

− e−λx si x > 0 F (x) =  0 si sinon De plus on a E(X) = 1 λ et V ar(X) = 1 λ2 3.7. Loi normal La loi normal ou la loi de Laplace-Gauss est la plus c´l`bre des lois de probabilit´s. On ee e d´bute par le r´sultat de base de ce paragraphe commun´ment appell´ l’int´grale de Gauss e e e e e +∞ −∞ e− 2 dt = t2 √ 2π D´fintion: e Soit m ∈ R et σ 2 > 0. On dit que X suit une loi normale de param`tre m et σ 2 si sa densit´ de e e probabilit´ f est d´finie sur R par e e (x−m)2 1 f

notations suivantes : n : nombre total d'observations n1 : le nombre de symboles + n2 : le nombre de symboles k : le nombre runs Si les réalisations successives sont indépendantes et si n1 > 10 et n2 > 10, le nombre de runs converge vers une distribution normale avec : - - 2n1 n2 + 1 n1 + n 2 2n n (2n n − n1 − n2 ) σ k2 = 1 2 1 2 (n1 + n2 ) 2 (n1 + n2 − 1) E (k ) = On construit alors aisément un test d'hypothèse (ou un intervalle de confiance) pour juger de la probabilité d'observer le nombre de

exercice, les résultats seront donnés à 10−3 près. 5 points 1. Une étude interne à une grande banque a montré qu’on peut estimer que l’âge moyen d’un client demandant un crédit immobilier est une variable aléatoire, notée X , qui suit la loi normale de moyenne 40, 5 et d’écart type 12. a. Calculer la probabilité que le client demandeur d’un prêt soit d’un âge compris entre 30 et 35 ans. b. Calculer la probabilité que le client n’ait pas demandé un prêt immobilier avant 55 ans. 2. Dans un slogan

ce Y ∼ B(90, 1/6). Le nombre moyen de 4 est donc E[Y ] = 15 et l’écart-type vaut σ(Y ) = 12.5. La loi de Y est illustrée figure 2.6 à droite. Le Théorème Central Limite explique pourquoi on obtient une forme de courbe “en cloche” typique de la loi normale (cf. fin de Chapitre 3). 2.5.4 Loi géométrique La loi géométrique est la loi typique du temps d’attente avant apparition d’un certain événement. Définition 2.13 (Loi géométrique) On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1[

fluctuation asymptotique. Théorème – Intervalle de fluctuation asymptotique Soit une variable aléatoire suivant la loi binomiale Pour tout réel et . on a : est l’unique nombre strictement positif tel que lorsque suit la loi normale Définition - Intervalle de fluctuation asymptotique L’intervalle au seuil est appelé intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire fréquence qui à tout échantillon de taille associe la fréquence obtenue . Exemple

la régression : L.I.N.E : Linéarité : La relation entre X et Y est linéaire Indépendance des erreurs : Les valeurs de l’erreur sont statistiquement indépendantes Normalité de l’erreur : Les valeurs de l’erreur sont distribuées selon la loi Normale pour toute valeur de X Égalité de la variance (appelée aussi homoscedasticité) La distribution de probabilité des erreurs a une variance constante Précisions à propos des hypothèses : Les valeurs estimées b0 et b1 (ou “hat” values) sont estimées

Fisher – Soit un n-échantillon (X1 , · · · , Xn ) de loi f (x | θ). On a le résultat suivant. Sous certaines conditions de régularité, l’estimateur du maximum de √ ˆ ˆ vraisemblance θn de θ est tel que, pour n assez grand, n(θ − θ) suit une loi normale centrée, de variance 1/I(θ). Autre résultat important : l’inégalité de Cràmer-Rao. Soit tn , un estimateur de g(θ), alors : E(tn − g(θ))2 ≥ (g (θ) + bn (θ))2 , nI(θ) où bn (θ) = E(tn ) − g(θ), est le biais. Si g(θ) = θ et si l’estimateur

 Loi binomiale Repartition Dénsité Loi normale densité Repartition Khi 2 Ces données ayant été réparties en classes, il faut : calculer algébriquement la distance entre les données observées et les données théoriques attendues. se donner a priori un risque d'erreur, celle consistant à rejeter l'hypothèse, alors qu'elle est vraie (la valeur 5 % est souvent choisie par défaut ; il s'agit plus souvent d'une coutume que du résultat d'une réflexion) ; déterminer

Estimation. , sans biais Somme de deux lois de Poisson. Soient et deux variables aléatoire indépendantes suivant respectivement les lois et . La loi suit une loi . 3. Loi du Khi-deux     Somme de carré de loi normales centrées réduites. Soient variables aléatoires indépendantes . La variable aléatoire suit une loi de probabilité (khi-deux à degrés de liberté). Somme de lois du Khi-deux. Soient et deux variables aléatoires indépendantes suivant

52 cm. - la moyenne arithmétique des tailles est égale à 50,12 cm. - la variance est égale à 14,91 cm². 3. Représentation croisée par exemple [pic] Exercice 4 a) vrai, car cela signifie que la loi n'est pas très éloignée d'une loi normale et donc la moyenne (qui dans ce cas est égale à la médiane) est un bon indicateur de tendance centrale. b) faux, la variance est nulle si toutes les valeurs sont égales. c) vrai. Exercice 5 [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]