Famille exponentielle

ar(X) = Fili`res: GI: S3 e Variables al´atoires continues e 8 3.6.2. Loi exponentielle D´fintion: e Soit λ ∈ R avec λ > 0. Ondit que X suit la loi exponentielle de param`tre λ, si sa densit´ f e e est d´finie par: e λe−λx si x ≥ 0 f (x) = 0 sinon On note en abreg´ X ∼ Exp(λ). e Remarque: On a bien f (x)dx = R 0 +∞ λe−λx dx = −e−λx ∞ 0 =1 Propri´t´: ee Si X suit la loi exponentielle Exp(λ) alors la fonction de r´partition F est donn´e par e e   1 − e−λx si x > 0 F (x)

l’approche bayésienne est le calcul de la loi a posteriori. Ce calcul est facilité lorsque loi a priori et loi a posteriori ont la même forme. Dans ce cas, on parle de loi a priori conjuguée. Définition 9 – Une famille F de lois sur Θ est dite conjuguée si, pour tout π appartenant à cette famille, la loi π(θ/x) appartient également à celle-ci. Dans ce cas, le praticien induit directement la forme de son estimateur dès qu’il a choisi sa loi a priori. Exemples de lois conjuguées f (x/θ) π(θ)

Fonctions exponentielles et logarithmes Il s'agit de deux familles de fonctions étroitement liées, la première étendant à toutes les valeurs réelles la notion déjà connue de puissance. On en donne ici une présentation naïve. Exemple introductif : si beaucoup de grandeurs, tels les poids, les bénéfices, les durées, s’ajoutent, d’autres valeurs, tels les indices, se multiplient ; supposons ainsi une population animale qui s'accroît de 3 % chaque année, si elle part de la taille P 0, elle vaudra les

Introduction et Modèle Statistique 5 7 11 11 15 15 16 17 18 21 23 27 27 29 29 30 33 37 37 39 40 43 46 48 51 51 54 54 56 57 57 3 Chapitre 1. Introduction Chapitre 2. Modèle Statistique 1. Définition 2. Modèle d’échantillonnage 3. Vraisemblance 4. Familles Exponentielles 5. Modèle position-échelle 6. Exercices Partie 2. Estimation ponctuelle Chapitre 3. Statistique et Estimateur Chapitre 4. Construction d’estimateurs 1. Estimateurs empiriques (des moments) 2. Méthode de substitution 3. Méthode des moments

suit une loi de Poisson b) X suit une loi exponentielle c) X suit une loi inconnue d’écart-type σ = 0,5 IV - Dans les déserts de l'Ouest californien, les plantes comestibles et le gibier étaient extrêmement rares et une famille épuisait la nourriture à plusieurs milles à l'entour de son campement en peu de temps. Il fallait alors qu'elle change de place. C'est pourquoi les populations vivaient en groupes dispersés. Une observation portant sur n familles indiennes païutes avait montré une durée

..................................................................... 4 III. LA LOI EXPONENTIELLE.................................................................................................................... 6 IV. MANQUE DE MEMOIRE DE LA LOI EXPONENTIELLE .............................................................. 7 V. RELATION DE DUALITE ENTRE LES LOIS DE POISSON ET EXPONENTIELLE ................. 9 VI. CONVOLUTION, LOI DE LA SOMME ..............................

. . . . . . . . e 2.2 Cadre d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Th´or`me de Fisher-Tippet-Gnedenko . . . . . . . . . . . . . . e e 3 D´tection des outliers dans le cas d’une queue de distribution e ` d´croissance exponentielle a e 3.1 Test d’hypoth`se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2 Puissance du test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Estimateurs de an et bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 D´tection des outliers

discrètes * 2.1 Loi de Bernoulli * 2.2 Loi binomiale * 2.3 Loi hypergéométrique * 2.4 Loi de Poisson * 2.5 Loi géométrique * 3 Exemples de lois à densité * 3.1 Loi uniforme * 3.2 Loi normale * 3.3 Loi exponentielle * 3.4 Loi logistique * 3.5 Loi de Cauchy * 3.6 Loi de Tukey-Lambda * 4 Définition mathématique * 5 Caractérisation de la loi de probabilité d'une variable aléatoire réelle * 5.1 Caractérisation à l'aide de la fonction de

Loi de poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2.1.2 Loi normale et loi lormale centrï¿ 2 e-rï¿ 1 duite . . . . . 2 2.1.3 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 15 15 16 17 17 17 3 Introduction aux methodes de Monte-Carlo 18 3.1 Thï¿ 1 orie . . . .

est bien s^ur une condition necessaire du developpement urbain au travers de l'existence d'un surplus agricole, c'est-a- dire d'une quantite de nourriture disponible en plus de ce qui est necessaire a la subsistance du producteur et de sa famille 4 . Mais l'activite agricole est aussi a l'origine d'un phenomene de sedentarisation impliquant une haussede la densite de population. Cette plus forte densite de population joue un r^ole crucial dans le developpement urbain. Pour s'en