Famille Bernoulli

 PRINCIPE DE BERNOULLI Travail de mathématique présenté à Mme Beaulieu Professeur de mathématique rédigé par Laurence Desbiens Collège Jean-de-Brébeuf Montréal 19 Septembre 2014 Table des matières Introduction…………………………………………..……...………….p.3-4 Informations sur Daniel Bernoulli…………………….……...p.4-5 Théorème de Bernoulli.........................................p.5-9 Cas d’un fluide parfait……………………………………….……….p.7 Théorème

et de Marguerite Brucker, la fille d'un pasteur. Il eut deux jeunes sœurs du nom d'Anna Maria et de Maria Magdalena. Peu de temps après la naissance de Leonhard, la famille Euler déménagea de Bâle pour rejoindre la ville de Riehen, où Euler passa la plupart de son enfance. Paul Euler était un ami de la famille Bernoulli — Jean Bernoulli, alors considéré comme le principal mathématicien européen, pourrait être celui ayant eu la plus grande influence sur le jeune Leonhard. L'éducation officielle d'Euler

Loi normale ou loi de Gauss Familles de loi de probabilité continues, définies sur l’ensemble des réels, complètement caractérisées par leur espérance et leur variance De distribution symétrique autour de leur espérance x ~ N (µ ,σ 2 ) f ( x) =  ( x − µ )2   exp −  2σ 2  2πσ   1 2 Exemples de lois normales Fonction de répartition Pas calculable analytiquement Calcul numérique La loi normale centrée réduite Loi normale d’espérance nulle et de variance 1 u ~ N (0,1) f (u )

qu'il exerce sur ses parois diminue. C’est , ce qu’on appelle l’effet Venturi. Il avait en fait repris les travaux du suisse Daniel Bernoulli (1700-1782) et son théorème. Nous allons voir pourquoi ce théorème permet d’expliquer l’effet Venturi. A.a Analyse dimensionnelle du théorème de Bernoulli Pour un fluide considéré incompressible, le théorème de Bernoulli peut être résumé en une formule : On peut alors procéder à une analyse dimensionnelle afin de mieux comprendre

refoulement h = ha + hr : hauteur géométrique totale Δhc : perte de charge totale de la Z2 conduite (J) Hmt : hauteur manométrique totale de la pompe entre 2 réservoirs ha Hmt = ha + hr + J P 1 , u1 Z1 D’après théorème de Bernoulli réservoirs identiques Hmt = hauteur géométrique + perte de charges + différence de P dans les réservoirs exprimée en hauteur • Valeur limite d’aspiration : ha (hauteur manométrique maximale d’aspiration) : C’est la distance verticale théorique

parties d’un ensemble ayant n éléments. 2. Lois discrètes • Loi de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli a seulement deux issues contraires A et A de probabilités respectives p et q = 1 – p. Le schéma de Bernoulli est la répétition n fois et de façons identiques et indépendantes d’une épreuve de Bernoulli. La probabilité d’obtenir k réalisations de A sur n épreuves est donnée par la n p k avec p k =   p k q n – k . loi de Bernoulli : k  k Remarque : p=0 ∑p q n k n–k = 1. 96 cours

conservation de masse Equation de continuité •les équations traduisant la conservation de la quantité de mouvement (PFD) appelées équations d’Euler Théorème d’Euler •Les équations traduisant la conservation de l’énergie cinétique Théorème de Bernoulli Chap 3 Dyn fluid non visq 2 1.1.Propriétés des écoulements L’écoulement d’un fluide peut être : 1D, 2D ou 3D permanent ou non permanent, uniforme ou non uniforme, laminaire ou turbulent rotationnel ou irrotationnel  Ecoulement 1D

éolienne. Plus de vent donc plus de vitesse) ( Défauts communs : si le relief->accidenté, vent à vitesse très irrégulière donc usure de l’éolienne plus rapide, le vent est alors chargé de turbulence. 2) Le théorème de Bernoulli ; l’effet Venturi ( Le principe de Bernoulli conduit à une relation entre la pression, la vitesse du fluide et la force de gravitation. (Expérience entonnoir) ( Produit beaucoup de turbulence qui limite alors la durée de vie des éoliennes et leur capacité de production

) ⎣ ⎦ Loi de Bernoulli – Loi binomiale Loi de Bernoulli Définition On appelle « expérience de Bernoulli » toute expérience aléatoire dont l’univers compte deux issues. Traditionnellement l’une est appelée « succès » et l’autre « échec ». Remarque : les dénomination de « succès » et d’ « échec » sont historiques et ne doivent être interprétées systématiquement ! On appelle « loi de probabilité de Bernoulli » la loi de probabilité associée à une expérience de Bernoulli. A l’issue « succès

signifie qu’en jouant un grand nombre de fois à ce jeu, un joueur peut espérer gagner € en moyenne par partie. 2. Loi binomiale : Définition : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues et deux seulement, appelée succès de probabilité et échec de probabilité . Lors de la répétition de épreuves de Bernoulli, de façon identique et indépendante, on définit la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès lors des épreuves. La loi de probabilité de la variable aléatoire