Fonction exponentielle

I. Définition de la fonction exponentielle Soit (E) l'équation différentielle f'(x) = f(x) avec f(0) = 1. On admet qu'il existe une fonction solution de cette equation. Lemme Si f est une fonction solution de (E), alors pour tout x, f(x) \neq 0. Propriété et définition : Il y a une unique fonction solution de (E). Cette solution est appelé fonction exponentielle et est notée \exp. Démonstration : Soit f une fonction solution de (E) et on pose g(x) = f(x)f(- x) g est défini sur \mathbb{R}

Quand vous entrez la fonction, vous pouvez taper et valider « 1 » ou « 2 » pour entrer une fonction précédente. Pour mettre les bornes, par exemple [-00,5], tapez [-] [ENTER] [5] [ENTER]. Dérivation* : Calcule la dérivée de f(x) Verification : > Une dérivée : Entrez la fonction puis la dérivée, la TI vous indique si c’est correcte. > Une primitive : Entrez la primitive puis sa fonction, la TI vous indique si elle est correcte. Dériv Successiv* : Entrez la fonction puis le nombre de dérivés

et manipuler... Avec la fonction exponentielle Exercice 11 - Fonction exponentielle - Niveau 1 - Math Sup/L1 1. Effectuer le changement de variables u = ex . 2. Effectuer le changement de variables u = ex . 3. Intégrer par parties, ou rechercher une primitive de la même forme. Exercice 12 - Fonction exponentielle - Niveau 2 - Math Sup/L1 1. Effectuer le changement de variables u = ex . 2. Effectuer le changement de variables u = sinh(x). Exercice 13 - Exponentielle et trigonométrique - Math Sup/L1

2 1.2 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Fonction exponentielle, existence et unicité . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 Propriétés des fonctions logarithme et exponentielle . . . . . . . . 9 1.6.1 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6.2 Le logarithme . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE 2 LA TRANSFORMATION DE LAPLACE La transformation de Laplace est une opération intégrale qui permet de transformer une fonction d’une variable réelle en une fonction d’une variable complexe. Par cette transformation, une équation différentielle linéaire peut être représentée par une équation algébrique. Cette transformation permet aussi de représenter des fonctions particulières (distribution de Heaviside, distribution de Dirac, etc.) de manière très élégante. Ce sont ces possibilités qui

trigonométrie à l’aide des nombres complexes - de transformer des expressions trigonométriques à l’aide de ces formules (linéarisation, développement de cos(px) ou sin(px) en fonction de cos x et sinx) - de résoudre des équations polynômiales à coefficients complexes - de déterminer les racines n-ième d’un nombre complexe (sous forme exponentielle) - de déterminer la forme algébrique des racines carrées d’un nombre complexe - de résoudre une équation du second degré à coefficients complexes Plan du chapitre

Si f est une fonction continue sur un intervalle I, alors il existe au moins une fonction F dérivable sur I telle que f soit la dérivée de F sur I. On dit alors que F est une primitive de f sur I Définition Générale: F est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I et si pour tout x dans I, F '(x) = f (x). |Par exemple, si f est définie que IR par: f(x) = 2x, on remarque que la fonction F définie sur IR par F(x) = x² admet pour dérivée f. F est une primitive de f sur

Notions de fonctions Il est possible d’effectuer des calculs grâce à différentes opérations logiques. Plus simplement, on peut les définir par + ou *, deux opérations commutatives et distributives. Exemples : Soit x, y et z 3 variables : x + y = y + x et x * y = y * x x + (y * z) = (x + y) * (x + z) et x * (y + z) = (x * y) + (x * z) Le symbole + se lit « ou » alors que le symbole * se lit « et ». Ce sont des fonctions, ils en existent plusieurs sortes, les fonctions « et »

EXCEL 2010 Les fonctions FACULTE DES METIERS DE L’ESSONNE TABLE DES MATIERES INTRODUCTION IDENTIFICATION D’UNE FONCTION RENSEIGNEMENT D’UNE FONCTION LES FONCTIONS MATHEMATIQUES SOMME PRODUIT QUOTIENT MOD SOMME.SI SOMMEPROD LES FONCTIONS LOGIQUES SI ET ET OU LES FONCTIONS DE RECHERCHE ET REFERENCE RECHERCHEV RECHERCHEH LES FONCTIONS STATISTIQUES MAX ET MIN MOYENNE NB NBVAL ET NB.VIDE NB.SI LES FONCTIONS DATE ET HEURE EXCEL 2010 | 1 2 2 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 10

et aux fonctions sur les variables logiques. Le nom provient de George Boole. George Boole est le fondateur de la logique moderne. L'algèbre de Boole est une algèbre permettant de traduire des signaux (tout ou rien) en expressions mathématiques en remplaçant chaque signal élémentaire par des variables logiques et leur traitement par des fonctions logiques. L'algèbre de Boole permet de résoudre des équations logiques afin de réaliser des fonctions sur des signaux numériques. Ces fonctions seront appelées