Roc mathematique

Pages: 20 (4854 mots) Publié le: 2 janvier 2012
ROC: Restitution Organisée des
Connaissances 
Terminale S
Septembre 2005
Table des matières
1 Analyse 2
1.1 Limites et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Fonction exponentielle, existence et unicité . . . .. . . . . . . . 5
1.5 Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Propriétés des fonctions logarithme et exponentielle . . . . . . . . 9
1.6.1 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.2 Le logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.8Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9 Primitive s’annulant en a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.10 Intégration Par Parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Géométrie 19
2.1 Module et argument d’un produit, d’un quotient . . . . . . . . . . 19
2.2 Second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3Écriture complexe des transformations du plan . . . . . . . . . . . 22
2.4 Distance d’un point à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Distance d’un point à une droite dans le plan . . . . . . . . . . . . 24
3 Probabilités 25
3.1 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Triangle de Pascal - Binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . 26
Cedocument a été réalisé à l’aide de LATEX2", un lociciel libre.
1
1 Analyse
1.1 Limites et ordre
Théorème 1 Limites et ordre
1. Théorème des « Gendarmes »
Si, pour x « assez voisin de a »(a fini ou infini), on a :
u(x) 6 f (x) 6 v(x) et si u et v ont la même limite l en a, alors :
lim
x!a
f (x) = l
2. Cas d’une limite infinie
Si, pour x « assez voisin de a »on a f (x) > u(x), et si :lim
x!a
u(x) = +1, alors lim
x!a
f (x) = +1
(Énoncé analogue pour −1)
Démonstration :
Dans le cas où a = +1(c’est le cas qui figure au programme, la démonstration
des autres cas ne pourra vous être demandée.)
On considère un intervalle ouvert quelconque I contenant l.
La fonction u a pour limite l en +1 donc il existe un réel A tel que pour tout
x 2]A; +1[ tous les nombres u(x) sontdans I.
De même, pour la fonction v :
On note B le réel tel que pour tout x 2]B; +1[ on a : v(x) 2 I.
On désigne par C le plus grand des nombres A et B. Alors pour tout x 2]C; +1[
on a : v(x) 2 I et u(x) 2 I.
Or, on sait que u(x)  f (x)  v(x).
Donc, nécessairement f (x) 2 I
Conclusion :
f a pour limite l quand x ! +1
2
1.2 Bijection
Théorème 2 dit de la « bijection »
Soit f une fonctioncontinue et strictement monotone sur [a, b],
Alors, pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l’équation f (x) = k a
une solution unique dans [A, B].
Démonstration
Nous allons établir le théorème dans le cas où f est strictement croissante. Le
cas où f est décroissante sera facile à en déduire.
On sait que f est une fonction continue sur [a, b].
Considérons le réel k compris entre f(a) et f (b).
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel tel que :
f ( ) = k
Supposons qu’il existe réel tel que , et f ( ) = k
Si > , alors f ( ) > f ( ) (On sait que f est strictement croissante).
et donc : f ( ) , k
Contradiction. La supposition est donc fausse, et le réel est unique.
On procède de même si < .
D’où le résultat.
3
1.3 Fonctioncomposée
Théorème 3 Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle
I et g une fonction définie et dérivable sur un intervalle J tel que pour
tout x 2 I on ait u(x) 2 J.
alors la fonction f = g  u est dérivable sur I et on a pour tout x 2 I :
f 0(x) = g0(u(x)) × u0(x)
En résumé, on note (g  u)0 = g0  u × u0
Démonstration :
Note importante : les commentaires officiels du...
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