Groupe fonctionnel

Mechab TABLE DES MATIÈRES 4 STRUCTURES ALGEBRIQUES 4.1 Lois de Compositions Internes . . . . . . . 4.1.1 Unicité de l’inverse (du symétrique) 4.2 Structure de Groupe . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Groupes à deux éléments . . . . . . 4.2.2 Sous groupes . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Goupes Quotients . . . . . . . . . . 4.2.4 Homomorphismes de Groupes . . . 4.3 Structure d’Anneaux . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Sous Anneaux . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Homomorphismes d’Anneaux . . . 4.3.3 Idéaux . . . .

l’addition qu’on appelle opposé. L’opposé de z  x  iy est noté  z et  z   x  i (  y )   x  iy . Définition 6 : 1/-  muni de l’addition, noté (, +), qui vérifie les propriétés 1/, 3/ et 4/ a une structure de groupe. 2/- (, +) qui vérifie aussi la propriété 2/ a une structure de groupe commutatif. 3 Définition 7 : On appelle soustraction dans  l’opération définie par : (z, z’)2 , Les règles de suppression de parenthèse dans  sont les mêmes que dans . 5) Multiplication dans . a) Définition

La «fonction inverse» 1 Définition : la fonction inverse est la fonction x SQQT -- définie sur x Remarque : * 6 *. 4 = \ { 0 } = ]− ∞, 0 [ ∪ ]0, +∞ [ désigne l’ensemble de f -6 -4 -2 2 1 tous les nombres sauf zéro. Retenir : ---------- existe lorsque [ … ] ≠ 0 . […] 1 x0 0 M x 2 4 6 Propriétés : • Tableau de valeurs 2 5 10 1 x -2 vx = 1.4 x −10 −5 −2 −1 −0,5−0,1 −0,01 0 0,01 0,1 0,5 1 1⁄x • =0.71 -4 -6 La courbe de x SQQT

Exercice 1 : 1. Démontrer en posant une fonction f que l’on pourra dériver plusieurs fois que pour tout xÎIR+ 1 – x2 2 £ cos x On admet que pour tout xÎIR+ 1 – x2 2 £cos x £ 1 – x2 2 + x4 24 Soit f la fonction définie sur IR* par f(x) = 1 – cos x x2 . 2. Déterminer la limite de f en zéro plus . 3. Déterminer la parité de la fonction f . 4. En déduire la limite de f en zéro moins . 5. En déduire la limite de f en zéro . 6. Déterminer la limite de sin2x 1 – cos x en zéro .

réciproque d’une partie 2.3. Injection, surjection, bijection . . . . . 2.4. Composition des applications . . . . . 2.5. Ensemble des applications de E vers F . . . . . 3. Structure de Groupe 3.1. Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Morphisme de groupe . . . . . . . . . . 4. Structure d’Anneau 4.1. Anneau . . . . . . . . 4.2. Sous-anneau . . . . . 4.3. Exemples d’anneaux 4.4. Arithmétique de Z . 11. Espaces Vectoriels 11.1. Structure

EXERCICE 1 (5 points ) (Commun à tous les candidats) Partie A On considère le polynôme P défini sur C par : √ √ √ P (z) = z 3 − 2 + i 2 z 2 + 2 1 + i 2 z − 2i 2. √ 1. Montrer que le nombre complexe z0 = i 2 est solution de l’équation P (z) = 0. √ 2. a) Déterminer les réels a et b tels que P (z) = z − i 2 (z 2 + az + b). b) En déduire les solutions dans C de l’équation P (z) = 0. Partie B − → Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O, →, − ). On prendra 2 cm pour unité u v graphique

Fonction exponentielle Définition La fonction exponentielle est définie pour tout nombre réel x par : exp : x ) ex, avec ln (e) = 1 et e = 2,718 281 …… On a donc exp(x) = ex ; ex = y x = ln y (y > 0) En effet, ex = y ln(ex ) = ln y et x×ln(e) = ln y soit x = ln y Fonctions réciproques ✓ La fonction "carré" admet sur les réels positifs une fonction réciproque appelée "racine carrée". 1- Dans le repère orthogonal ci-contre, sont présentées les courbes U, V et W représentatives

l'application h ◦ g . (c) Trouver l'intervalle pour lequel l'application h ◦ g est bijective. (d) Montrer que (h ◦ g)−1 = g −1 ◦ h−1 Exercice 3. 1. Soit (G, .) un groupe non commutatif. Pour un α de G, on note l'application : fα : G −→ G x −→ fα (x) = αxα−1 On pose G = {fα α ∈ G}. (a) Montrer que G est un groupe pour la loi ◦ . (b) Montrer que l'application g : α −→ fα est un morphisme de G vers G . 2. On dénit deux lois + et × sur Z2 telles que : ∀(a1 ; b1 ), (a2 ; b2 ) ∈ Z2

telle que f’ = f et f(0) = 1 alors f ne s’annule pas sur I. Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur I telle que f’ = f et f(0) = 1. C’est la fonction exponentielle, notée exp. II . Propriétés algébriques : Théorème : Relation fonctionnelle caractéristique : La fonction exponentielle est la seule fonction dérivable sur I non nulle qui vérifie les conditions : • Pour tous réels a et b, f(a+b) = f(a).f(b) • f’(0) = 1 Propriétés : Ce document a été téléchargé sur http://www.mathovore

ÉVARIS MATHÉMATICIEN Biographie LA NOTION DES GROUPES Les groupes est l’une des notions examinées par Évariste Galois. De nos jours, en mathématique, les groupes peuvent être représentés comme un ensemble de nombres avec, comme opération, l’addition, la multiplication, ou d’autres fonctions. Par exemple, l’ addition des nombres entiers relatifs* est une opération de groupe, puisqu’il respecte les quatre règles suivantes : LES RÈGLES = GROUPE 1-Lors de l’opération, on doit rester dans l’ensemble