Intégration économique

voisinage de +∞. Finalement ∀x ∈]0, +∞[, la fonction t → e−t tx−1 est intégrable sur ]0, +∞[. b. Soit x > 0. Soient ε et A deux réels tels que 0 < ε < A. Les deux fonctions t → tx et t → −e−t sont de classe C1 sur [ε, A]. On peut donc effectuer une intégration par parties qui fournit A tx e−t dt = −tx e−t ε A ε A +x ε tx−1 e−t dt = −Ax e−A + εx e−ε . Puisque x > 0, quand ε tend vers 0 et A tend vers +∞ on obtient +∞ +∞ Γ (x + 1) = 0 tx e−t dt = x 0 tx−1 e−t dt = xΓ (x)

CHAPITRE 2 LA TRANSFORMATION DE LAPLACE La transformation de Laplace est une opération intégrale qui permet de transformer une fonction d’une variable réelle en une fonction d’une variable complexe. Par cette transformation, une équation différentielle linéaire peut être représentée par une équation algébrique. Cette transformation permet aussi de représenter des fonctions particulières (distribution de Heaviside, distribution de Dirac, etc.) de manière très élégante. Ce sont ces possibilités qui

intégrales: III - 1 - Utilisation des primitives : Exemples : 1 xdx 1) I = ∫ 0 1+ x 2 e 3) K = ∫ 0 1 0 x dx x +1 π dx x ln 2 (x ) e2 4) K = ∫ π 2) J = ∫ cos3 (x ) 5) L = ∫ 4 tan 2 (x )dx 0 III - 2 Intégration par parties : Théorème: Soit u et v deux fonctions dérivables à dérivées continues sur [ a, b] , alors : b ∫a u′( x)v( x)dx = [u ( x)v( x)]a − ∫ u ( x)v′( x)dx b b a Exemples: π 2 2) J = ∫ 3 1) I = ∫ x ln(x )dx 1

Académie Internationale Mohammed VI de l’ Aviation Civile Casablanca Ingénieurs de l’ Aviation Civile Année 2008 Analyse Intégrale de Lebesgue —————————————————————————————— 1 Tribu Soit X un ensemble on note par P(X) l’ ensemble de tous les sous-ensembles de X. Une collection d’ ensembles A P(X) est dite tribu sur X si (a) X 2 A, (b) A 2 A ) Ac := X n A 2 A, 1 S Ai 2 A (c) (Ai )i2N A ) i=1 (Stabilité par réunion dénombrable). Si A est une tribu sur X, on dit que

Fonction carré La fonction carré est la fonction qui à un nombre réel x associe son carré, noté x², soit x multiplié par lui même. Elle introduit les fonctions puissance, c'est une des plus simples d'entre elles. Propriétés [modifier]Signe La première propriété est la positivité de la fonction. En effet quel que soit x réel, y=x\times x on a forcément deux fois le même signe à droite; donc y est supérieur ou égal 0. Et s'annule uniquement en 0. Parité Vient ensuite la parité de la fonction

CCP — TSI — 2006 — 2 1 I) 1) Equations différentielles a) L’équation différentielle est linéaire, du premier ordre à coefficients non constants avec second ∗ membre. On travaille sur R+ , intervalle sur lequel le théorème s’applique, on connait donc l’existence de solutions et leur structure. 1 L’équation homogène associée est : xy − y = 0, ses solutions sont : y = Ke− − x dx = Kx. b) On cherche ici une solution particulière, à moins d’en « deviner » une, on applique la méthode de variation

l'ensemble M1 est un espace vectoriel. 2 3. Exemple d'une fonction non moyennable. On considère la fonction x0 dénie par : x0 (t) = ei ln(t+1) si t > 0 x0 (t) = 0 si t ≤ 0 (a) Vérier que x0 ∈ B. (b) Montrer, en utilisant une intégration par parties que, pour tout T > 0 : MT (x0 ) = ei ln(T +1) − i T T 0 tei ln(t+1) dt. t+1 (c) Montrer , en utilisant le changement de variable s = ln(t + 1), que : MT (x0 ) = T + 1 i ln(T +1) 1 e − . (i + 1)T (i + 1)T (d) Calculer lim

situation la plus facile à identifier… Exercice 4 A l’aide d’une intégration par partie, calculer J1 = ∫ e 1 x ln(x) dx. © Tous droits réservés Studyrama 2008 Fiche téléchargée sur www.studyrama.com 1 Fiche Exercices Nº : 32005 MATHEMATIQUES Série S Appliquer deux fois la formule d’intégration par parties et obtenir une équation dont l’intégrale est l’inconnue Exercice 5 A l’aide de deux intégrations par parties, calculer J 2 = π 2 ∫ 0 e x sin(x) dx .

(t)dt. a f (t)g(t)dt Et par conséquence a b ∈ [m, M ] f (t)dt , ce qui implique l'éxistence d'un a c dans [a, b] tel que : b f (t)g(t)dt g(c) = a b f (t)dt a 6 CHAPITRE 1. INTÉGRALE SUR [A, B] Intégration par partie : Proposition : Soient u et v deux fonctions de classe C∞ sur [a, b] b , alors on a : b a u (t)v(t)dt = [u(t)v(t)]b − a x u(t)v (t)dt a x Démonstration : On pose : F (x) = a u (t)v(t)dt

SESSION 2012 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 EXERCICE 1 : normes équivalentes 1. Soit f ∈ E. f est de classe C1 sur [0, 1]. Donc la fonction |f ′ | est continue sur le segment [0, 1] et par suite la fonction |f ′ | est intégrable sur le segment [0, 1]. On en déduit que f existe dans R. 1 • Pour tout f ∈ E, f = |f(0)| + 2 • Soit f ∈ E. 0 |f ′ (t)| dt 0. 1 1 f = 0 ⇒ |f(0)| + 2 0 • Soient f ∈ E et λ ∈ R. ⇒ ∀t ∈ [0, 1], f(t) = f(0)