Intégration économique

R f(x) = ekx => F(x) = (ekx / k) + C R F et G des primitives respectivement de f et g : (F + G)’ = (f + g) d’où ∫ (f(x) + g(x))dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx λ un réel quelconque, ∫ λf(x)dx = λ∫ f(x)dx Intégration par partie : ∫ u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) - ∫ u’(x)v(x)dx Démonstration : (uv)’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x) <=> u(x)v’(x) = (uv)’(x) – u’(x)v(x) Il ne reste plus qu’a intégrer : ∫ u(x)v’(x)dx = ∫ ((uv)’(x) – u’(x)v(x))dx <=> ∫ u(x)v’(x)dx = u(x)v(x)

FACULTE DE GENIE MECANIQUE ET DE GENIE DES PROCEDES Filière : GENIE DES PROCEDES Département : DE GENIE CHIMIQUE ET DE CRYOGENIE RAPPELS DE MECANIQUE DES FLUIDES Fait par : Y.K. BENKAHLA Année 2012/2013 1 Rappels de Mécanique des fluides 1. Dérivée particulaire dVx Vx Vx Vx Vx  Vx  Vy  Vz  dt x y z t    ( 2) (1) (1) où : (1) : représente la dérivée convective ; (2) : la dérivée instantanée ou locale. 2. Loi fondamentale de l’hydrostatique  gi  p 0 x i (2

Exercices 23 octobre 2014 Intégration et primitives Notion d’intégrale Exercice 1 Pour chaque fonction affine définie par morceaux f , représentée ci-dessous, calculer, en utilisant les aires, l’intégrale I de f sur l’intervalle de définition de f . Cf 1.0 3 Cf 0.5 2 −3 −2 −1 O 1 2 3 1 −0.5 −1.0 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Exercice 2 Polynésie juin 2013 On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = (x + 2)e−x On note C la courbe représentative de la fonction f dans un

pour U = R Puis!on a: ! @ OM @ OM ^ : @ @' ! ! ! @ OM @ OM ^ (cos2 ' cos ; cos2 ' sin ; cos ' sin ') = cos 'OM : @ @' Donc ! ! ! ! @ OM @ OM ! OM dS = U : ^ d d' = : cos 'OM d d' = R2 cos 'd d' @ @' R Ainsi: dS = R2 cos 'd d' 3) On a alors par intégration S = 4 R2 C’est l’aire de la sphère EXERCICE 10 RR Soit f: M(x,y,z) ! xz 2 : l’intégrale double K 0 = f (M )dS S S: sphère unité 6 On passe en coordonnées sphériques: x = R cos cos ' y = R sin cos ' z = R sin ';pour appartenant à [0; 2 ]; et '

1 n2 n t − [t] 1 dt = t(t + n) n n t − [t] dt t 0 A+n t − [t] dt − t A t − [t] dt t Puisque A+n 1 1 1 + + ln 1 − n 3n 0 A+n t − [t] dt − t Enfin par la relation de Chasles x2 (1+x3 )n+2 dx. b) Jn − Jn+1 = x× En procédant à une intégration par parties justifiée par deux√convergences : Jn+1 = 3n−1 3n Jn . c) On pose vn = 3 nJn . A t − [t] 1 dt = t(t + n) n t − [t] dt t 0 A 1 A A+n t − [t] dt A n A on obtient quand A → +∞ donc la série de terme général ln vn+1 − ln vn converge

Chapitre 6 Chapitre 6. Intégration 15 9 –3= . 2 2 Activités et applications 2. A = Ig – If = 1. Intégrale d'une fonction continue et positive 3. a) h(x) = – x2 + x + 2. On vérifie que les racines de – x2 + x + 2 sont – 1 et 2. Donc, h(x) = – (x + 1)(x – 2). D’après les règles de signe des polynômes du second degré, h(x) у 0 pour tout x ∈ [– 1 ; 2]. 2 2 x3 x2 b) h(x) dx = – + + 2x 3 2 –1 –1 8 4 –1 1 =– + +4– – + –2 3 2 3 2 8 1 3 =– +6– – 3 3 2 16 36 7 27 9 =– + + = = . 6 6 6 6 2 Activité. Aire

113 Cned – Académie en ligne Chapitre 1 > Généralités ......................................................................................................................................................... 117 Chapitre 2 > Intégration par parties .............................................................................................................. 125 Chapitre 3 > Intégrales et inégalités ...................................................................

Applications du théorème de conservation de la quantité de mouvement Traînée d’un corps admettant un axe de symétrie (Ecoulement plan ou de révolution) Considérons le cas d’un écoulement de révolution la généralisation au cas plan (c’est-à-dire ne dépendant que de deux dimensions d’espace) étant immédiate. Supposons tout d’abord l’obstacle (C ) fermé (aucun flux ne le traverse), la vitesse en amont de l’obstacle étant constante. L’écoulement est supposé permanent. On veut déterminer la force que

tan t dt = √ grâce au changement t = arctan x2 puis intégration d’une fraction 2 0 rationnelle. Remarque : Bien souvent, on effectue le changement de variable u = ψ(t) avec ψ bijective plutôt que t = ϕ(u). Il faut bien vérifier le caractère C 1 de la réciproque ψ −1 ce qui n’est pas automatique. Par contre le théorème de dérivation des fonctions réciproques assure que la condition est réalisée dès que ψ ∈ C 1 et ψ ne s’annule pas. 2.3 Intégration par parties Soient f, g : [a, b[→ K deux applications

réel donné. Identifier les courbes et les nommer sur l’annexe 1 (à rendre avec la copie). En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel correspondante ainsi que l’unité graphique sur chacun des axes. A l’aide d’une intégration par parties, calculer. Donner une interprétation graphique de cette intégrale.