Chapitre 1

Intégrale sur [a, b] de R (a 0 sur [a, b] ; alors il existe c ∈ [a, b] tel que : b b

f (t)g(t)dt = g(c) a a

f (t)dt

Démonstration : puisque g est continue sur [a, b] alors il existe m et M dans R tel que g([a, b]) = [m, M ] avec m = min{g(x)/x ∈ [a, b]} et M = max{g(x)/x ∈ [a, b]}. Donc pour pour tout x ∈ [a, b] on a m ≤ g(x) ≤ M et par suite on a : b b b

m a f (t)dt ≤ a f (t)g(t)dt ≤ M b f (t)dt. a f (t)g(t)dt
Et par conséquence a b

∈ [m, M ] f (t)dt

, ce qui implique l'éxistence d'un

a

c

dans

[a, b]

tel que :

b

f (t)g(t)dt g(c) = a b

f (t)dt a 6

CHAPITRE 1.

INTÉGRALE SUR

[A, B]

Intégration par partie : Proposition :
Soient

u

et

v

deux fonctions de classe

C∞

sur

[a, b] b , alors on a :

b a

u (t)v(t)dt = [u(t)v(t)]b − a x u(t)v (t)dt a x

Démonstration :
On pose :

F (x) = a u (t)v(t)dt et G(x) = u(x)v(x)−u(a)v(a)− a u(t)v (t)dt.

F (a) = 0 et G(a) = 0 De plus G (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) − u(x)v (x) = u (x)v(x) et F (x) = u (x)v(x) . Donc F = G + constante et puisque G(a) = F (a) = 0 alors la constante
Alors on a : nulle . Donc

est

F (x) = G(x)

pour tout

x ∈ [a, b]

en particulier pour

b

.

Remarque :
La démonstration qu'on vient de faire est valable aussi pour les primitives et on a la proposition suivante :

Proposition :
Soient

u

et

v

deux fonctions de classe

C1

sur

[a, b]

, alors on a :

u (t)v(t)dt = u(t)v(t) −

u(t)v (t)dt

Exemple :
Calculer les intégrales et primitives suivantes : 1.

I= J=

ln(t)dt.
2

2.

t ln(t)dt.
1 1

3.

K=
0

arctan(t)dt. u (t) = 1 et Pour

1)

on pose

v(t) = ln(t)

et donc

ln(t)dt = t ln(t) −

1 t. dt = t ln(t) − t + c t

7

. Pour

2)

ona :

2

J=
1
Pour

1 t ln(t)dt = [ t2 ln(t)]2 − 1 2

2 1

1 2 1 3 t . dt = 2Ln(2) − 2 t 4

3

On a :

1 0

arctan(t)dt =