Intégration horizontale

4. 5. 2 3 4 3 Ensemble des Nombres réels Limite et continuité Dérivabilité Etude d’une fonction EXERCICES 3 6 10 13 15 Primitives. Calcul intégral 16 1. 2. 3. 4. 5. 16 17 19 20 21 Primitives Intégration Méthodes d’intégration Calcul approché d’une intégrale EXERCICES Formule de Taylor. Développements limités 22 1. 2. 3. 4. 5. 22 23 24 26 27 Comparaison des fonctions Formules de Taylor Développements limités Applications

4120 Étude qualitative : y = x − ey Soit y une solution maximale de l’équation y = x − ey . 1. Montrer que y est décroissante puis croissante. 2. Montrer que y est définie jusqu’en +∞ et que sa courbe représentative admet une branche parabolique horizontale. 3. Montrer que α > −∞ et que y → +∞ lorsque x → α − . Correction [004120] Exercice 4121 Étude qualitative : x = cos(t) + cos(x) Soit x la solution maximale du problème de Cauchy : x = cos(t) + cos(x), x(0) = x0 ∈ ]0, π[. Montrer que x est définie

2 0 2 e  b) Vrai :    1 4 1 sin 2tdt    cos2t    2 0 2 sin t  1 3 dt    2 1  1. 2 cos t  cos t  0   c) Vrai :  e 1 ln tdt   t ln t  t  1  1 .  3 0 d) Vrai : 1 0 e) Vrai : Intégration par parties, 1. 6. QCM 2  tetdt   (t  1)et   1 .   0 1 Fesic 2002, exercice 5. Répondre simplement par Vrai ou Faux à chaque question. On rappelle que 2 < e < 3. Soit f la fonction définie sur  par f ( x)  ( x  1)e2x . a

Remarques : Évidemment, si ¦ est négative sur [a, b] alors son intégrale est négative. Par contre, on ne peut rien dire, a priori, du signe de l'intégrale d'une fonction changeant de signe sur [a, b]. 3.2. Propriété Compatibilité avec l'ordre (intégration d'une inégalité) Si ¦ et g sont continues sur le segment [a, b] avec a  b alors : ¦  g sur [a, b] Þ ò b a ò ¦ (t ) dt  b g (t ) dt a Démonstration : Étudions d'abord le cas où ¦ et g sont positives (on a donc 0  ¦ 

différentielle y ′ − y = g ′ équivaut à (e−x y (x)) = e−x g ′ (x) donc x y (x) = Kex + ex 0 e−t g ′ (t) dt x I.2 les solutions de (S) sont de la forme f (x) = Kex + ex 0 e−t g′ (t) dt avec f (0) = g (0) d’où x x x K = g (0) . Une petite intégration par parties donne 0 e−t g′ (t) dt = [e−t g (t)]0 + 0 e−t g (t) dt = x e−x g (x) − g (0) + 0 e−t g (t) dt. Ainsi x x f (x) = g (x) + ex 0 e−t g (t) dt = g (x) + 0 ex−t g (t) dt Comme on a procédé par équivalence on a bien LA solution

Exercices - Formules intégrales de Cauchy - Inégalités de Cauchy - Applications : corrigé Intégration complexe Exercice 1 - Avez-vous compris ? - L3/M1 Le chemin est paramétré par t → (t, t2 ), où t ∈ [1, 2]. On a donc, le long du chemin, z = t + it2 , dz = (1 + 2it)dt, et donc 2 I= 1 7 (t − it2 )(1 + 2it)dt = 9 + i. 3 Exercice 2 - - L3/M1 On peut paramétrer l’arc de cercle par z = 2eit , 0 ≤ t ≤ π. Il vient π/2 I= 0 (4e2it + 6eit )2ieit dt = −8 44 i− , 3 3 après un petit

T HÉORIE DE LA MESURE ET DE L’ INTÉGRATION . T HIERRY G ALLAY Transcrit par Tancrède L EPOINT 2009 U NIVERSITÉ J OSEPH F OURIER , G RENOBLE TABLE DES MATIÈRES Avant-propos Biographie sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction 1 Théorie générale de la mesure 1.1 Espaces mesurables . . . . . . . . . 1.2 Définition et exemples de mesures 1.3 Exemple : l’ensemble de Cantor . . 1.4 Complétion des mesures . . . . . .

Euler, Lambert, Liouville, Hermite, Wantzel, Lindemann, Lebesgue, Apéry et autres découvreurs de mathématiques. Annexe : Liens Internet : Preuves d’irrationalité et de transcendance Une preuve de l’irrationalité de e sans intégration (pour une preuve après le chapitre intégration, voir le sujet de juin 91 du bac D, dans les académies d’Amiens,…Rouen): http://gc.saliege.fr/ (site de Gérard Chevet) Une preuve de l’irrationalité de  : http://perso.wanadoo.fr/gery.huvent/html/irem.htm (site de Géry Huvent)

nouveaux pour les intégrales généralisées ; il suffira, x comme dans l'exemple précédent, d'effectuer ces opérations sur les intégrales ⌠ ⌡  f(t) dt      a avant de chercher la limite éventuelle de la fonction de x. Exemple Par récurrence et intégration par parties, on prouve que pour tout 3 n ‘ ˙ , l'intégrale +& tn e-t dt est convergente et vaut n! . ⌠ ⌡       0 Proposition 1 Si f et g ont des intégrales convergentes sur [a , b[ (ou ]a , b] , ]a , b[) , f + g et ¬f (¬ dans È ou Â) ont

Université de Cergy-Pontoise Licence S3 PC 2008-2009 cours no 2 : Intégrales généralisées Rappelons que les inégrales de fonctions réelles ont été définies sur un segment pour des fonctions continues par morceaux. Il est possible de généraliser cette construction à un certain type de fonctions bornées, définies sur des segments (on parle d’intégrale de Riemann ou d’intégrabilité au snes de Riemann) dont les fonction monotones font parties. Dans ce cours, nous nous intéresserons à des fonctions