CALCUL INTÉGRAL

1. Définition de l'intégrale dans le cas d'une fonction continue positive sur un segment [a, b]
1.1. Définition L'unité d'aire

r r
Soit P un plan muni d'un repère orthogonal (O ; i , j ).

y

Soient I, J et K les points définis par :

J

r j uur r uuu r r uuur r r
OI = i , OJ = j et OK = i + j

O

K
1 u.a. r i

I

x

On appelle unité d'aire (notée en abrégé u.a.) l'unité de mesure des aires telle que :
Aire(rectangle OIKJ) = 1 u.a.
Remarques :

r r
· OIKJ peut être un carré lorsque le repère (O ; i , j ) est orthonormé.
· Si l'on a, par exemple, OI = 3 cm et OJ = 2 cm, alors une unité d'aire correspond à 6 cm2.

1.2. Définition Notion d'intégrale d'une fonction continue positive en tant qu'aire r r
Soit P un plan muni d'un repère orthogonal (O ; i , j ).
Soient :
· a et b deux réels avec a  b.
· ¦ une fonction continue (ou continue par morceaux(1)) et positive sur le segment(2) [a, b].
On appelle intégrale de ¦ de a à b l'aire, exprimée en u.a., du domaine D suivant :
D = {M(x, y) Î P tels que a  x  b et 0  y  ¦(x)}
(D est le domaine délimité par la courbe de ¦, l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'équations x = a et x = b)

ò

On note cette quantité :

b a ¦ (t ) dt ou

ò

b

¦( x ) dx

a

Les réels a et b s'appellent les bornes de l'intégrale.
1 u.a. = une unité d'aire

Illustration : y L'aire de D est de mesure

C¦

FINIE. En effet, ¦ est continue sur le segment [a, b] donc
1

D

majorée. Il existe donc un rectangle contenant D.

a

O

1

b

x

Remarques :
La variable t (ou x ou autre) figurant dans l'intégrale est "muette" ; elle peut être notée par toute autre lettre. Le symbole dt (ou dx) ne joue aucun rôle pour le moment, si ce n'est de préciser quelle est la variable.

(1)
(2)

Cette hypothèse est indispensable pour définir l'intégrale d'une fonction en escalier.
Un segment est un intervalle fermé borné.