Le Modulor

l’usine ; d’ailleurs beaucoup de parties son faite à l’usine pour réduire le coût de la maison. Rôle du Modulor : Le Modulor est un chiffre correspondant aux proportions du corps humain. Le Corbusier en avait besoin pour construire les éléments de ses maisons les rendre pratique à vivre pour un humain. Exemple : les chaises, la table extérieur ou encore le plafond sont construits à partir du Modulor et sont adaptés à la taille des humains. Grâce au patio extérieur, les habitants se trouvant

zB - zA - AB . CD = 0 → → - ( AB , CD ) = π [ π ] 2 Preuve : • L'équivalence des quatre premières propriétés est immédiate. • Les nombres complexes imaginaires purs (non nuls) sont les nombres complexes ayant pour argument π ou 3π (modulo 2 π), 2 2 π (modulo π) c'est-à-dire 2 Propriétés Soit A, B et C des points distincts d'affixes respectives zA, zB, et zC. Les propriétés ci-dessous sont équivalentes : A, B et C sont alignés → → - AB et AC sont colinéaires → → - AC = k AB , k ∈ IR zC -

Plan :- solution de l’équation x² = x +1 (équation polynomiale avec uniques solution phi, discriminant)- première définition du nombre d’or (définition) : géométrique (rectangle d’or => architecture, rapport a/b) + histoire (euclide)- modulor avc suite de Fibonacci Dans un premier temps, nous verrons ce qu’est le nombre d’or I) Introduction (def nombre d’or)Tout d’abord, qu’est-ce que le nombre d’or ? *Divine proportion Premièrement c’est un

purisme », c'était l'un des principaux représentants du mouvement moderne que l'on nomme modernisme, en 1928 il participe au CIAM, (Congrès International d'Architecture Moderne) où il diffuse ses idées : le fonctionnalisme et le purisme, il invente le Modulor. Et il a également développé l'idée de l'aménagement urbain et des logements collectifs. Purisme : peinture de représentation d'objets de la vie quotidienne, 20eme siècle Dom-Ino : Maison innovante en béton dont la construction est plus rapide

rapidement à ce résultat en faisant : 100(16) - 27(16) = D9(16) ; (100(16) = FF(16) + 1) Pourquoi utiliser la notation avec complément ?Une soustraction A - B peut s'écrire :A - B = A + (R - B) modulo R.Exemple en base 10 :529 - 412 = 529 + (1000 - 412) modulo 1000 soit 117.or 117 = (529 + 588) modulo 1000 = 1117 modulo 1000. On observe que :1/ Une soustraction se traite comme une addition si on fait intervenir le complément.2/ Il est nécessaire de formater le complément. Le bit de poids le plus fort est

chiffres de un ? 2. Montrer que, pour tout entier naturel n, un+2 ≡ un (modulo 4). En déduire que pour tout entier naturel k, u2k ≡ 2 (modulo 4) et u2k+1 ≡ 0 (modulo 4). 3. 4. Déterminer les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de un suivant les valeurs de n. 5. Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite (un ) est constant. Préciser sa valeur. b. En déduire que, pour tout entier naturel n, 2un ≡ 28 (modulo 100). a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n

Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de un ? 2. Montrer que, pour tout entier naturel n, un2  un (modulo 4) . En déduire que pour tout entier naturel k, u2 k  2(modulo 4) et u2 k 1  0(modulo 4) . 3. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 2un = 5n+2 +3. b. En déduire que, pour tout entier naturel n, 2un  28(modulo 100) . 4. Déterminer les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de un suivant les valeurs de n. 5. Montrer que le PGCD de deux

3 est l’ensemble des couples (4 + 10k ; 9 + 24k) où k ∈ ℤ ». Proposition 2 : Pour tout entier naturel n non nul : « 56n+1 + 23n+1 est divisible par 5 ». Proposition 3 : Pour tout entier naturel n non nul : « Si un entier naturel n est congru à 1 modulo 7 alors le PGCD de 3n + 4 et de 4n + 3 est égal à 7 ». Proposition 4 : « x2 + x + 3 ≡ 0 [ 5 ] si et seulement si x ≡ 1[ 5 ] ». Proposition 5 : Deux entiers naturels M et N sont tels que M a pour écriture abc en base dix (M vaut 100a+10b+c où a

2 DECHIFFREMENT 1. La ralation de dechiffrage est : y=17x+6[26] 2.  Calculons tout d’abord le PGCD (17 ; 26) à l’aide de l’algorithme d’Euclide : 26=17*1+9 17=9*1+8 9=8*1+1 8=1*8+0 Donc PGCD ( 26 ; 17) = 1 donc 17 admet un inverse multiplicatif modulo 26 noté a’ On a : y17x+6[26] donc y-617x[26] or, a’15x x[26] d’où x a’(y-6) [26] donc xa’y-a’6[26] on pose b’a’6[26] on obtient donc x a’y+b’[26] Pour obtenir l’inverse multiplicatif a’, on utilise le théorème de Bézout : Comme PGCD(15 ;26)=1, il

· 360 et k ∈ Z (modulo 360) et x R2 y ⇔ x = y + k · 2π et k ∈ Z (modulo 2π ) sont des relations d'équivalence. Notation : La classe d'équivalence du nombre x se note x˙ : x˙ = {y ∈ R | y = x + k · 2π et k ∈ Z} = {y ∈ R| y = x + k · 360 et k ∈ Z} L'ensemble des classes modulo 2π se note R/2π , et celui des classes modulo 360 se note R/360. Exemple 1.6 La classe de 0 (modulo 2π ) est : 0˙ = {y ∈ R | y = 0 + k · 2π, k ∈ Z} = {..., −2π, 0, 2π, 4π, 6π, ...} La classe de 90◦ (modulo 360) est : ˙ =