Lelecteur Rationnel

multiplie chaque nombre naturel par deux, je ne fais rien disparaître, je transforme, et je n’ai donc pas moins de nombres avant qu’après. Yannick, se tenant la tête    DossierL’infini Oui, et puis les nombres naturels, les entiers, les nombres rationnels, les fonctions, les polynômes, les … Yannick    Wô minute, on attend un peu. Je suis com-plè-te-ment perdu. Annick s’interrompt, prend une feuille et trace un diagramme. Ok, ça va, j’ai compris. Mais qu’est-ce que tu veux dire, l’infini,

COURS : langage Perl PP.E.R.L.signifie PracticalExtraction and Report Language( langage pratique d'extraction et d'édition Créé en 1986 par Larry Wall, pour gérer un système de «News »entre deux réseaux. - Outil général de manipulation de chaînes de caractères et de fichiers très bien adapté au traitement des textes - Perl manipule les expressions régulières de façon native : “c’est le langage le plus imprégné d’expressions régulières et celui dans lequel elles sont

Tableau récapitulatif des instructions en Python Instruction | Python | Exemples | Ecrire un message | print"message" | print"La valeur de X est : " | Ecrire le contenu d'une variable X | print X | print X | Ecrire un message suivi du contenu d'une variable X | print"message",X | print"La valeur de X est : ",X | Saisir le contenu d'une variable X précédé d'un message. | X=input("message") | X=input("Saisir la valeur de X ") | Affectation : A prend la valeur 5 | A=5 | A=5 | Opérations

Corrigés des exercices 109 109 112 115 117 III Table des matières 9. Calculs de primitives Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 129 129 132 134 135 15. Nombres entiers, nombres rationnels Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 215 215 217 219 220 10. Équations différentielles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 145 145

· + an xn n. R → R La fonction P : est appelée fonction polynôme nulle de degré −∞. x ￿→ 0 ￿n ￿n P (x) = k=0 ak xk = i=0 ai xi (k et i sont des symboles "muets"). Exemples 1.1.4. Fonction rationnelle Soient P et Q deux polynômes, D = {x ∈ R; Q(x) ￿= 0} D → R La fonction f : P (x) est appelée fonction rationnelle. x ￿→ Q(x) Exemples 1.1.5. Fonction en escalier Soient a et b deux réels avec a < b, n ∈ N∗ , (a0 , . . . , an ) ∈ [a, b]n+1 avec a = a0 < a1 < · · · < an = b et (λ0 , . . . , λn−1 ) ∈

s Exercice 1 m 1. Calculons le PGCD des nombres 240 et 375 à l’aide de l’algorithme d’Euclide. 375 = 1 × 240 + 135 240 = 1 × 135 + 105 135 = 1 × 105 + 30 105 = 3 × 30 + 15 30 = 2 × 15 + 0 Le dernier reste non nul est 15. Conclusion : 15 est le PGCD des nombres 240 et 375. © H A T I E R 2009 m 2. Posons 240 F = -------- . 375 Nous avons 240 = 16 × 15 et 375 = 25 × 15 , alors : 16 × 15 F = ----------------- ou encore 25 × 15 16 F = ----25 En divisant le numérateur et le dénominateur

qu’on ne peut pas trouver un entier 3 tel que -1 3.3 =1. En fait les seuls nombres entiers ayant un inverse entier sont 1 et –1, qui ont pour inverses eux-mêmes. On est dans un contexte très différent de celui des nombres réels ou des nombres rationnels, qui eux, à part 0, ont toujours un inverse. Toute l’arithmétique tourne autour de cet écueil propre aux nombres entiers, à savoir le problème de la division. 1- Division euclidienne Il s’agit de la division la plus simple, celle où n’interviennent

a imposé sa limite au produit. Or 3x3 est le terme dominant du polynôme f(x). Ce qui est vrai pour le cas particulier f l'est pour n'importe quel polynôme. - 5/8 - Ch1 : Limites et continuité (TS) b) Limite d'une fraction rationnelle. On considère la fonction rationnelle g définie pour tout réel x par : Déterminons sa limite en + ∞. Au premier abord, en utilisant ce que nous avons fait avec les polynômes, nous pouvons dire que lorsque x tend vers +∞ : le numérateur 3x3 + 2x2 + 1 tend vers + ∞

9 3.5 Quotient de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Limite en l’infini d’une fonction polynôme ou rationnelle 12 4.1 Cas d’une fonction polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 Cas d’une fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Asymptote oblique ∗ Ce 13 cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA http://creativecommons

BONUS : a) Démontrer que la somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel. Avec a ∈  , c ∈  , b ∈ * et d ∈ * , a c ad + bc ad + bc on calcule + = et bd ∈ * et ad + bc ∈  donc est bien un rationnel. b d bd bd b) La somme de deux nombres irrationnels est-elle un nombre irrationnel ? La somme de deux irrationnels n’est pas toujours un nombre irrationnel. ( ) Contre-exemple : 2 + − 2 = 0 et 0 est un rationnel.