Logarithme naturel

r´els. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.1.1 1.1.2 1.1.3 7 9 9 9 9 Exemples de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 1.3 1.4 La fonction logarithme n´p´rien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 e e La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Fonctions sinus et cosinus . . . . . . . .

l’enseignement de spécialité Les parties A et B sont indépendantes l’une de l’autre. Partie A On considère la suite (wn ) définie par : w0 = 2 et, pour tout entier naturel n : wn+1 = On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs. 1 + 3wn . 3 + wn 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : wn > 1. Notons, pour tout entier n ⩾ 0, la propriété P(n) : wn > 1. ● Initialisation : pour n = 0, w0 = 2 donc w0 > 1, ainsi P(0) est vraie. ● Hérédité

cinquième de ces axiomes a pour énoncé : « par un point extérieur à une droite, il passe une et une seule droite parallèle à cette droite ». Un autre exemple d’axiomes est fourni par les (cinq) axiomes de Peano. Ceux-ci définissent l’ensemble des entiers naturels. Le cinquième axiome affirme que : « si P est une partie de N contenant 0 et telle que le successeur de chaque élément de c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr P est dans P (le successeur de n est

On note A n le point du On pose z0 = 2 et, pour tout entier naturel n, zn+1 = 2 plan d’affixe zn . 1. Calculer z1 , z2 , z3 , z4 et vérifier que z4 est un nombre réel. Placer les points A0 , A1 , A2 , A3 et A4 sur une figure. Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S 2. Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn |. Justifier que la suite (un ) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n, un = 2 1 n . 2 3. À partir de quel rang n0 tous

provenant des annales de concours. Ils sont plus nombreux quand une grande variété de situations se présente. Dans le même esprit, un certain nombre d’applications sont données. Elles ne font pas partie du cours, mais elles en sont le prolongement naturel, et inspirent de nombreux exercices d’annales. Ces caractéristiques sont signalées à chaque fois qu’il est nécessaire. Sur fond grisé vous trouverez des conseils d’ordre pédagogique : écueils à éviter, erreurs à ne pas commettre, conseils de rédaction

de ces axiomes a pour énoncé : « par un point extérieur à une droite, il passe une et une seule droite parallèle à cette droite ». Un autre exemple d’axiomes est fourni par les (cinq) axiomes de Peano. Ceux-ci définissent l’ensemble des entiers naturels. Le cinquième axiome affirme que : « si P est une partie de N contenant 0 et telle que le successeur de chaque élément de c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr P est dans P (le successeur de n

cinquième de ces axiomes a pour énoncé : « par un point extérieur à une droite, il passe une et une seule droite parallèle à cette droite ». Un autre exemple d’axiomes est fourni par les (cinq) axiomes de Peano. Ceux-ci définissent l’ensemble des entiers naturels. Le cinquième axiome affirme que : « si P est une partie de N contenant 0 et telle que le successeur de chaque élément de c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr P est dans P (le successeur de n est

construction fondée sur le fait que les nombres irrationnels algébriques sont « mal approximés » par les nombres rationnels. Il en exhibe plusieurs exemples dont la constante de Liouville. En 1873, Charles Hermite établit la transcendance de e, base des logarithmes népériens. C'est le premier nombre à avoir été démontré transcendant sans avoir été construit spécialement dans ce but. En 1874, Cantor montre que l'ensemble des nombres réels est non dénombrable et par conséquent, en déduit l'existence des nombres

désigne l’ensemble des entiers naturels. Le corps des nombres réels est noté R et celui des nombres complexes est noté C. Par ailleurs, K désignera soit R, soit C. Enfin, on dira d’une suite à valeurs dans K qu’elle est une suite numérique. 1. Généralités 1.1 Définitions Définition 1 Soit (an ) une suite à valeurs dans K. La série (numérique) de terme général an , notée an , est la suite (Sn ), où n ∀n ∈ N Sn = k=0 ak . Dans ce contexte, pour tout entier naturel n, on dit que Sn est la ne

Simplifier un quotient : pour tous réels a, b≠ 0 et k ≠0, kb b attention : on ne peut pas simplifier si le numérateur ou le dénominateur n'est pas un produit II) PUISSANCES Pour tout réel a et tout entier naturel n 1, n fois n a = a × a ××a Pour tous réels non nuls a et b et tous entiers naturels non nuls n et p , on a : 1 a− n = n a0 = 1 a n a = a n−p  a n  p = a np a n × a p = a n p p a a n an n = n a n × b n =  ab  b b  III) RACINE CARRÉE Soit un réel positif a. Le nombre  a est