Logarithme naturel

adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est d´croissante et la diff´rence e e e des deux converge vers 0. ­ Propri´t´ 1 : si deux suites Ôun Õ et Ôvn Õ sont adjacentes avec Ôun Õ croissante et Ôvn Õ d´croissante alors, e e e pour tout entier naturel n, vn un . ­ Propri´t´ 2 : toute suite croissante et major´e converge ; toute suite d´croissante et minor´e converge. e e e e e Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, mˆme incompl`te, ou d’initiative mˆme non fructueuse, e e e sera

Sachant 2 ∉ Q, montrer 2 − 3 2 ∉ Q, 1 − ∉ Q. 2 4. Notons D l’ensemble des nombres de la forme Trouver x ∈ D tel que 1234 < x < 1234, 001. 5. Montrer que 2 3 a 2n avec a ∈ Z et n ∈ N. Montrer que 3 ∉ D. ∉ Q. 6. Montrer que log 2 ∉ Q (log 2 est le logarithme décimal de 2 : c’est le nombre réel tel que 10log 2 = 2). 2. Propriétés de R 2.1. Addition et multiplication Ce sont les propriétés que vous avez toujours pratiquées. Pour a, b, c ∈ R on a : a+b = b+a 0+a = a a + b = 0 ⇐⇒ a = − b (a + b) + c =

u1 = 1 1 et, pour tout entier naturel n, un+2 = un+1 − un . 2 4 5 points 1. Calculer u2 et en déduire que la suite (un ) n’est ni arithmétique ni géométrique. 2. On définit la suite (v n ) en posant, pour tout entier naturel n : 1 v n = un+1 − un . 2 a. Calculer v 0 . b. Exprimer v n+1 en fonction de v n . c. En déduire que la suite (v n ) est géométrique de raison d. Exprimer v n en fonction de n. 3. On définit la suite (w n ) en posant, pour tout entier naturel n : wn = a. Calculer w 0 . 1 b

du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins 75006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Sommaire 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 Suites Limites Dérivées et primitives Fonctions logarithmes Fonction exponentielle Intégration Équations différentielles Nombres complexes Exemples de lois à densité Prise de décision et estimation Statistiques à deux variables Mémento 5 20 34 49 68 84 100 116 135 145 154 164

pourrait limiter le succès des coupes avec protection de la régénération puisque les juvéniles peuvent correspondre à plus de 50% de la banque de semis (Déry et al. 2000). La coupe progressive a aussi été proposée pour favoriser la régénération naturelle des sapinières lorsque la régénération préétablie n’est pas présente en quantité suffisante (Raymond et al. 2000). Cette méthode de régénération consiste en l’enlèvement du couvert en une série de coupes, qui couvrent une partie restreinte de

la fin de la semaine précédente ont guéri au cours de la semaine. Pour tout entier naturel n on note un le nombre de souris encore malades après n semaines de traitement. On a donc : u0 = 1 000. Montrer que la suite (un ) est géométrique et que, pour tout entier n, un = 1 000 × (0, 94)n . Partie B 1. On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par : f (x) = 1 000ex ln(0,94) . b. Montrer que, pour tout entier naturel n, (0, 94)n = en ln(0,94) et en déduire que : f (n) = un . 2. On décide d’utiliser

provenant des annales de concours. Ils sont plus nombreux quand une grande variété de situations se présente. Dans le même esprit, un certain nombre d’applications sont données. Elles ne font pas partie du cours, mais elles en sont le prolongement naturel, et inspirent de nombreux exercices d’annales. Ces caractéristiques sont signalées à chaque fois qu’il est nécessaire. Sur fond grisé vous trouverez des conseils d’ordre pédagogique : écueils à éviter, erreurs à ne pas commettre, conseils de rédaction

l’exponentielle complexe . . . . . . a 2.13 Application au calcul trigonom´trique . . . . . . . e 2 Rappels et compl´ments sur les e nombres r´els et complexes e 1 1.1 Les nombres r´els e Loi de composition interne Dans l’ensemble des entiers naturels, l’ensemble des entiers relatifs et l’ensemble des rationnels, vous connaissez deux lois de composition interne qui sont les op´rations : addition et multiplication. On dit que ce sont des lois de come position interne car si (x, y) ∈ E × E(E = IN

14 Fiche 15 Fiche 16 Fiche 17 Fiche 18 Fiche 19 Fiche 20 Fiche 21 4 Nombres réels Généralités sur les fonctions numériques Limite d’une fonction Fonctions continues Fonctions dérivables Compléments sur les fonctions dérivables Logarithmes et exponentielles Fonctions circulaires et réciproques Fonctions hyperboliques et réciproques Suites numériques Suites particulières Intégrales définies Calcul des primitives Formules de Taylor Intégrales généralisées Équations différentielles

(n2 = n × n), mais on peut estimer que la somme, elle, a été calculée. 1.2 Définition On se donne une suite (un )n∈N de nombres complexes. c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 2 http ://www.maths-france.fr n Pour p et n entiers naturels donnés tels que p ≤ n, la somme des nombres up , up+1 ,..., un est notée uk . k=p n uk = up + ... + un (∗). k=p 0 Ainsi, k=0 uk = u0 , u2n−1 + u2n . 5 k=3 uk = u3 + u4 + u5 , 3 k=1 On peut donner une définition plus méticuleuse de  p k=p