Logarithme naturel

population n'a cessé de croître au détriment des autres espèces. La croissance de la population obéit à la relation suivante dont la solution est une courbe exponentielle : N = Noert (avec No, la population de départ / e, le logarithme népérien (2.71828...) / r, le taux de croissance naturel / t, l'interval de temps considéré.) Les boucles positives du système global conduisent à la croissance exponentielle de toutes les grandeurs mises en jeu, mais les trois boucles négatives (famine, pollution, épuisement

n  d.    ln n n>1 2. On considère trois suites (un) , (vn) et (wn) ayant, pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes : un ≤ vn ≤ wn , lim ( un ) = −1 et lim ( wn ) = 1 . n→+∞ n→+∞ Alors : a. lim ( vn ) = 0 . n→+∞ b. La suite (un) est minorée. c. Pour tout n de ℕ , on a : −1 ≤ vn ≤ 1 . d. On ne sait pas dire si la suite (vn) a une limite ou non.  u0 = 1, 5 pour tout entier naturel n. 3. Une suite (un) est définie sur ℕ par   un+1 = 2un − 1 a. La suite (un) converge vers 1, abscisse

un = n . n+1 Démontrer que (un) est strictement croissante et qu'elle converge vers 1 . On définit la suite (vn) de terme général vn = ln (un) pour tout n  *, où ln désigne la fonction logarithme népérien. a. b. c. Montrer que v1 + v2 + v3 = ‒ln 4 . Soit Sn la somme définie pour tout entier naturel non nul n par Sn = v1 + v2 + ... + vn . Exprimer Sn en fonction de n . En déduire la limite de Sn lorsque n tend vers + . page 4 sur 6 Exercice 4 (6 points) Partie A ex+1 On définit la

divergente. 2n 2. On a : 1 un = exp −n2 ln 1 + = exp(−n) exp(1/2 + o(n)) ∼ e−n . n On en déduit que n2 un → 0 et la série de terme général un converge. 3. On passe bien sûr à l’écriture en fonction du logarithme et de l’exponentielle, puis on écrit le développement limité du sinus et du logarithme. On obtient : un = exp − 1 1 +o 2−α 2−α 6n n . Trois cas sont à distinguer : 1 – Si α < 2, on a lim = 0, donc lim un = 1 : la série de terme général un est n→∞ 6n2−α grosièrement divergente (son terme

des compléments de cours facultatifs. Le chapitre 0 rappelle les notions prérequises et les dénitions les plus importantes. Il n'est pas traité en cours Table des matières 0 Rappels 0.1 L'ensemble 0.1.1 0.1.2 0.2 0.3 5 N des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 8 10 12 14 16 18 19 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriété fondamentale de N Opérations

[0 ; 2] par f (x) = e x+1 ´ 1. Etudier les variations de f sur l’intervalle [0 ; 2]. Montrer que si x ∈ [1 ; 2] alors f (x) ∈ [1 ; 2]. 2. (un ) et (vn ) sont deux suites d´finies sur N par : e u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = f (un ). v0 = 2 et pour tout entier naturel n, vn+1 = f (vn ). (a) Le graphique donn´ ci-dessous repr´sente la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2]. e e Construire sur l’axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites (un ) et (vn ) en laissant apparents

avec 0 ! = 1. Loi de Poisson P(λ) On l’appelle parfois la loi des ´v´nements rares . Une variable e e al´atoire X suit une loi de Poisson P(λ) de param`tre λ > 0 si ses valeurs sont {0, 1, 2, 3, . . .}, e e c’est-`-dire l’ensemble des entiers naturels N et sa loi de probabilit´ est : a e P r(X = k) = λk −λ e . k! Notons que l’ensemble des valeurs de X n’est pas fini mais est infini d´nombrable. e Un calcul (pas forc´ment ´vident) donne alors E(X) = V ar(X) = λ. e e Remarque 2 Si

plus l’infini : lim 1 + x = +∞ ∧ lim ln = +∞ +∞ composition x−→+∞ =⇒ lim f 1 = +∞. +∞ b. La fonction x −→ 1 + x est dérivable sur R+ et est en outre strictement positive sur cet intervalle. D’où f 1 , composée de cette fonction par le logarithme népérien est dérivable sur R+ . (ln u) = u 1 u ∀x ∈ R+ , f 1 (x) = . 1+x Pour tout réel x positif, f 1 (x) est une quantité strictement positive. Par conséquent, f est strictement croissante sur R+ . 2 c. La fonction x −→ 1 est continue donc

tableaux statistiques, ne jamais l’oublier.   Les données comme l’âge donnent des valeurs quantitatives continues en entier réel. Les données comme le nombre de voitures ou le nombre d’actifs donnent des valeurs quantitatives discrètes en entier naturel car indivisibles et toujours positives (Il n’est pas possible de recenser des demis voitures ou de posséder un nombre négatif de voiture…) Ce genre de tableau sera étudié plus en détail à partir du chapitre 2 Un tableau type : La répartition entre

4ème année Section : Maths Sujet de révision n°1 Mai 2010 A. LAATAOUI Thèmes abordés : Complexes (Coniques) ; Arithmétiques ; Similitudes ; Fonction logarithme népérien et exponentielle Exercice n°1 : © r r Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O, u , v . ( ) 1. Résoudre dans £ l’équation z 2 + z + 1 = 0 . 2. Pour tout complexe z tel que z = eiq avec -p £ q £ p , q ¹ a) Vérifier que z 2 + z + 1 = z 1 + z + z . 2p 3 et q ¹ - 2p 3 , on pose z ' =