Logarithme naturel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 Fonctions classiques 6.1 Fonctions bijectives . . . . . 6.2 Logarithme et exponentielle 6.3 D´veloppements limit´s . . . e e 6.4 Fonctions trigonom´triques . e 7 Corrig´ des exercices e Remerciements. ` TABLE DES MATIERES 63 63 63 65 66 69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

fortement invités à consulter des livres d’analyse. Ces notes contiennent certainement des fautes de frappe et des erreurs. Toute correction apportée à ce texte sera la bienvenue. ii iii Notations et identités remarquables N = ensemble des entiers naturels Z = ensemble des entiers relatifs Q = ensemble des nombres rationnels R = ensemble des nombres réels C = ensemble des nombres complexes ∃ ∀ ∈ ≤ ≥ “ il existe ” “ pour tout ” “ appartient ” “ plus petit ou égal ” “ plus grand ou égal ” (a + b)2

1 de J = ∫ 1 2 dx ; en déduire en utilisant l’intégration par partie le calcul ln( x) dx x ( x 2 + 1) 4°) Soit I n = ∫ 1 0 x n e − x dx a) Calculer I0 b) Pour tout entier naturel n, en utilisant une intégration par parties, c) Calculer In+1 en fonction de In. En déduire I4. EXERCICE 08: Pour tout entier naturel n >0 ; on pose : I n = ∫ 01 x n 3 + x dx et I 0 = ∫ 01 3 + x dx 1°) a) Calculer I 0 b) Calculer I 1 à l’aide d’une intégration par parties 2°) Comparer x n +1 et x n lorsque 0 ≤ x

pour chacun des 13 matches sélectionnés. Combinatoire et dénombrement page 3 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ 3. Dénombrement des Arrangements et des Permutations 3.1. Définition Soit E un ensemble de cardinal fini n et p un entier naturel tel que 0  p  n. Un p-arrangement (ou arrangement de p éléments) de E est une p-liste d'éléments distincts de E. Une permutation de E est un arrangement des n éléments de E. Un arrangement est donc une p-liste dans laquelle il n'y a pas de répétitions

 v n à partir d’un certain rang n 2 . Posons n 0  max n 1 ; n 2 alors pour tout entier naturel n  n 0 , on a u n  I c’est à dire A  u n et u n  v n donc A  v n . Donc l’intervalle I contient tous les termes de la suite v n  à partir d’un certain rang n 0 donc n lim v n  . ROC 2 (au programme) Théorème Si la suite u n  est croissante et converge vers un réel L alors, pour tout entier naturel n, u n  L. Prérequis Soit u n  une suite On dit que la suite u n  converge vers un

formules à rajouter aux identités remarquables bien connues : (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 a − b = (a − b)(a + ab + b ) 1.2 Analyse 3 3 2 2 (formule du binôme) 1. Cours sur les fonctions, en particulier sur les fonctions usuelles (logarithme, exponentielle, fonctions exponentielles de base a, fonctions puissances) : pour ces fonctions, bien connaître la dénition, les propriétés algébriques, la courbe et les limites usuelles associées. 2. Règles de calculs sur les limites : savoir donner

seconde, … On remplace l’évolution continue par une succession de photos prises à intervalles réguliers. Définition Une suite, notée (un) avec n ∈N, est une succession infinie de nombres un indexés (numérotés) par un nombre n qui est un entier naturel, soit u0, u1, u2, u3, … En général le terme initial est u0, mais la suite peut parfois commencer par u1 , ou par u2 , selon les circonstances. Comment se donne-t-on une suite ? Le plus souvent, Une suite est définie • par une relation de récurrence

exponentielles et logarithmiques, – revisiter les fonctions trigonométriques, – décrire les relations entre les droites et les plans dans l’espace à trois dimensions. 1 2 2. Les nombres réels Les ensembles de nombres sont : – ensemble des nombres entiers naturels N = {0, 1, 2, . . .} – ensemble des nombres entiers relatifs Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} – ensemble des nombres rationnels p | p, q ∈ Z, q = 0 q Q= Proposition 1 Un nombre est rationnel si et seulement s’il admet une écriture décimale

e e nombre premier et a un entier naturel premier avec p, alors ap−1 ≡ 1[p].” 1. a) D´montrer que 193 est un nombre premier. e b) Soit a un entier naturel inf´rieur a 192. Montrer que a192 ≡ 1[193]. e ` 2. On consid`re l’´quation e e (E) : a) V´rifier que le couple (155, 67) est solution de (E). e b) R´soudre l’´quation (E). e e 83x − 192y = 1 o` x et y sont des entiers relatifs. u 0,5 pt 0,75 pt 0,75 pt 0,5 pt 3. On note A l’ensemble des 193 entiers naturels inf´rieurs ou ´gaux ` 192 et on consid`re

bv = 1. Théorème de GAUSS : Soient a, b, c des entiers relatifs. Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c. 1. En utilisant le théorème de BÉZOUT, démontrer le théorème de GAUSS. 2. Soient p et q deux entiers naturels tels que p et q sont premiers entre eux. Déduire du théorème de GAUSS que, si a est un entier relatif, tel que a ≡ 0 [p] et a ≡ 0 alors a ≡ 0 [pq]. http://prof.pantaloni.free.fr V ERSION DU 9 MARS [q], 2012 8 http://prof.pantaloni.free.fr