Logarithme naturel

risques naturels dans le monde Risque naturel : définition Un risque naturel implique l'exposition des populations humaines et de leurs infrastructures à un évènement catastrophique d'origine naturelle. On y distingue principalement : les avalanches, les feux de forêt, les inondations, les mouvements de terrain, les cyclones, les tempêtes, les séismes et éruptions volcaniques mais aussi les raz de marées, les invasions d'insectes nuisibles, les sécheresses prolongées... Un risque naturel est donc

majorée + bornée Autre raisonnement par récurrence : 2 ≤ un ≤ 5 pour n Є ₦, n ≥ 4 P0 vraie n = 4, n = 5 je suppose que Pn est vraie au rang p 2 ≤ up ≤ 5 ………… 2 ≤ up+1 ≤ 5 donc Pn est vraie au rang p+1, donc Pn est vraie pour tout entier naturel n, n ≥ 4 Suite convergente : une fonction f + une suite (un) => un+1 = f(un) et u0 si (un) converge vers l (l Є Ɍ) + fonction f continue en l => l solution de f(x) = x suite croissance non majorée diverge vers +∞ (un ≤ un+1) suite décroissance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 55 55 59 61 . . . . . . . . 3 ` TABLE DES MATIERES 4 6 Fonctions classiques 6.1 Fonctions bijectives . . . . . 6.2 Logarithme et exponentielle 6.3 D´eveloppements limit´es . . . 6.4 Fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

croissance infinie est-elle toujours relié au progrès du bien-être? Il apparaît qu’au moment même où l’analyse économique semble pouvoir remettre en cause l’épuisement du processus de croissance tant craint par les classiques (I), les contraintes naturelles rendent insoutenables les rythmes de croissance observés et leur généralisation à l’échelle planétaire (II). Le divorce entre croissance et progression du bien être dans les pays développés montre justement à propos qu’elle ne peut plus être une

fonction continue sur un segment Rappel 2. Si f est une fonction continue sur un segment [a, b] dont F est une primitive, il vient : b a x=b f (x) dx = [F (x)]x=a = F (b) − F (a) +C +C x−a b xα+1 α+1 1 2 Exemple 1. Pour tout entier naturel n : +C 0 π/2 = ln[(x − a)2 + b2 )] + i arctan On reviendra plus loin sur cette derni`re primitive. e Remarque 2 (Homog´n´it´). Pour retrouver rapidement des r´sultats e e e e tels que : 1 x dx +C = arctan x2 + a2 a a e e e a On peut faire

1 ex . 2. Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n, ex Partie B ( ) n = enx . e− nx 1 + e− x On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un = 1. a. Montrer que u0 + u1 = 1. b. Calculer u1. En déduire u0. 2. Montrer que pour tout entier naturel n, un ≥ 0 . 3. a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, un+1 + un = b. En déduire que pour tout entier naturel n non nul, un ≤ 4. Déterminer la limite de la suite (un). 2. Exercice

transmet, pour tout n, de n à n + 1, donc la propriété est vraie pour tout n : pour tout entier naturel n, (ex )n = enx . Partie B On considère la suite (un ) définie pour tout entier naturel n par : 1 un = 1 1. a. u0 + u1 = 0 Par linéarité de l’intégrale, u0 + u1 = 1 1 dx + 1 + e−x 0 1 0 e−x dx 1 + e−x 0 e−nx dx. 1 + e−x 1 1 + e−x 1 0 b. u1 = 2. Pour tout entier naturel n, et pour tout réel x, e−nx > 0 et 1 + e−x > 0 donc e−nx > 0. L’intégrale sur l’intervalle [0

Devoir 1 u Thèmes abordés Exercice 1 : Étude de fonction, exploitation d’un graphique. Exercice 2 : Logique – Algèbre de BOOLE. Exercice 3 : Résolution d’équations, inéquations, systèmes avec des logarithmes et des exponentielles. Exercice 4 : Évolution d’une population ; suites numériques. Exercice 1  (5 points) La société TOPGAMES a lancé en 2010 un nouveau jeu sur console. Le nombre de nouveaux jeux vendus au cours des 12 mois de l’an 2010 a fait l’objet d’une statistique dont voici

C\R− , on note Arg(z) l’élément de l’intervalle ] − π, π[ tel que z = |z| exp(iArg(z)) ; on pose alors Log(z) = ln(|z|) + iArg(z) et, pour tout λ ∈ R, z λ = exp(λLog(z)) 3/5 Concours National commun - Session 2011 - MP La fonction Log est le logarithme principal défini sur C\R− ; on rappelle que les fonctions exp et Log sont holomorphes sur C et C\R− respectivement ; leur dérivées au sens complexes vérifiant 1 Log (z) = , z ∈ C\R− et exp (z) = exp(z), z z ∈ C. Soit λ un réel fixé dans l’intervalle

Pour tout entier naturel non nul, on note suit donc la loi binomiale de paramètres la probabilité pour qu’en et . semaines consécutives, il y ait au moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis. Montrer que pour tout entier non nul . On considère maintenant la loi binomiale de paramètres et c. Déterminer le nombre minimal de semaines pour que . A l’aide d’un tableur, on trouve (si on ne connaît pas la fonction ) Résolution par les logarithmes : car la fonction