Loi de Bernoulli

. . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Loi d’un couple aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Lois marginales du couple . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.3 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 La loi image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2 Loi de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Loi conditionnelle . . . . . . . . . . . . .

d'Archimède. En mesurant la hauteur h de la colonne, on peut déterminer la pression atmosphérique : [pic] 2.2. Loi de Pascal Les liquides, en raison de leur quasi-incompressibilité, transmettent les pressions dans toutes les directions. En conséquence, la pression communiquée à un liquide au repos dans un réservoir s’exerce en tout point du liquide. Ce principe est appelé la loi de Pascal, en l’honneur du savant français Blaise Pascal (1623-1662). Dans un circuit fermé, la pression se propage

d’avant projet sommaire (APS) 2.2.1 - Choix des échelles des plans des tracés étudiés 2.2.2 - Assainissement routier au stade de l’APS 2.3 - Études de projet 2.3.1 - Contraintes de calage 2.3.2 - Validation des principes généraux 2.4 - Dossiers Loi sur l’eau (DLE) ou dossier police de l’eau 2.4.1 - Au niveau de l’étude de projet 2.4.2 - Au niveau de l’Avant-Projet Sommaire (APS) 21 21 21 22 22 22 24 24 24 26 26 26 3 3 - Démarche qualité des études 29 3.1 - Notions

................................. 34 INTRODUCTION ................................................................................................................................................. 34 ESTIMATION, PREDICTION : EXEMPLE DU MODELE DE BERNOULLI ................................................................... 35 Estimation.................................................................................................................................................... 35 Prédiction .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2.4 Simulation d’autres lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3 Th´eor`emes limites en Calcul des Probabilit´es. . . . . . . . . . . . 69 4.3.1 Loi des Grands Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3.2 Application de la Loi des Grands Nombres : distribution d’une variable al´eatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 TABLE DES MATI `ERES 5 4.3.3 Th´eor`eme Central Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4

tout n ≥ 0, |Mn | ≤ K. On pose e n − Xk−1 )(Yk − Yk−1 )). Xn = k=1 1 (Mk − Mk−1 ). k Montrer que (Xn )n≥1 est une (Fn )n≥0 -martingale qui converge p.s. et dans L2 . Exercice 4.23. Soit (Yn )n≥1 une suite de v.a. ind´pendantes de mˆme loi normale N (0, σ 2 ), o` e e u σ > 0. On pose Fn = σ(Y1 , . . . , Yn ) et Xn = Y1 + · · · + Yn . On rappelle que I uY1 ) = eu E(e 2 σ 2 /2 . u (Zn )n≥1 (4.5) 1 ) Soit tingale. u Zn = exp(uXn − nu2 σ 2 /2). Montrer que, pour tout

Études d’avant projet sommaire (APS) 2.2.1 - Choix des échelles des plans des tracés étudiés 2.2.2 - Assainissement routier au stade de l’APS 2.3 - Études de projet 2.3.1 - Contraintes de calage 2.3.2 - Validation des principes généraux 2.4 - Dossiers Loi sur l’eau (DLE) ou dossier police de l’eau 2.4.1 - Au niveau de l’étude de projet 2.4.2 - Au niveau de l’Avant-Projet Sommaire (APS) 21 21 21 21 22 22 22 24 24 24 26 26 26 3 3 - Démarche qualité des études 3.1 - Notions de processus et de

de révision extérieur au domaine scientifique. Mais c’est encore le droit qui fournit le meilleur exemple d’un usage typique et réglé de la révision. L’évolution du droit est en effet tout entière tributaire de règles de révision. Une loi ou un article de loi peut être modifié, amendé, remplacé ou abrogé. L’abrogation, par exemple, ne constitue pas une annulation anarchique du caractère exécutoire d’un texte législatif ou réglementaire. 1° Le texte ne peut être abrogé que par un texte de même

finies . 20.3 Loi d’une variable aléatoire réelle . . . . . 20.4 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . 20.5 Espérance et variance . . . . . . . . . . . . 20.6 Théorème de transfert . . . . . . . . . . . . 20.7 Quelques inégalités usuelles . . . . . . . . 20.7.1 Inégalité de Markov . . . . . . . . 20.7.2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev 20.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.9 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . 21 Variables aléatoires finies usuelles 21.1 Loi uniforme

par la méthode des moindres carrés, coefficient de corrélation linéaire. Probabilités sur un ensemble fini, probabilité conditionnelle, indépendance, loi faible des grands nombres. Variables aléatoires discrètes, loi binomiale, loi de Poisson. Variables aléatoires continues, loi normale. Théorème de la limite centrée. Approximation d’une loi binomiale. Page 30 BTS Conception et réalisation de systèmes automatiques UF3.1-M2.2 : Statistique, probabilités 2 Présentation générale du