Loi de Bernoulli

Introduction…………………………………………………………………………….…4 2. Lois discrètes……………………………………………………………………………..4 2.1. Loi uniforme…………………………………………………………………………………………..4 2.1.1. Définition……………………………………………………………………………..….4 2.1.2. Espérance et variance…………………………………………………………..5 2.2. Loi de Bernoulli……………………………………………………………………………………..5 2.2.1. Définition………………………………………………………………………………...5 2.2.2. Espérance et variance………………………………………………………….5 2.3. Loi Binomiale………………………………………………………………………………………….6 2.3.1. Définition……………………………………………………………………………

INSTITUTION STE GENEVIÈVE D’ASNIÈRES LOI I BINOMIALE , ANNÉE SCOLAIRE 2014/2015 ÉCHANTILLONNAGE Activité A. Une expérience aléatoire élémentaire On fait tourner la roue de loterie colorée en blanc et gris représentée ci-contre. On gagne si l’issue « la flèche tombe sur la zone blanche » se réalise. On note S (comme « succès ») cette issue et E (comme « échec ») 1 l’autre issue. On suppose que P(S) = . 3 Préciser l’issue E et donner sa probabilité P(E). B. Quatre répétitions On répète quatre

Introduction…………………………………………………………………………….…4 2. Lois discrètes……………………………………………………………………………..4 2.1. Loi uniforme…………………………………………………………………………………………..4 2.1.1. Définition……………………………………………………………………………..….4 2.1.2. Espérance et variance…………………………………………………………..5 2.2. Loi de Bernoulli……………………………………………………………………………………..5 2.2.1. Définition………………………………………………………………………………...5 2.2.2. Espérance et variance………………………………………………………….5 2.3. Loi Binomiale………………………………………………………………………………………….6 2.3.1. Définition……………………………………………………………………………

Une variable de Bernoulli prend deux valeurs a ou b quelconques. les valeurs 0 ou 1. 12. Soit X une VAR d’espérance nulle. Alors X − σ(X) est centrée. une infinité de valeurs. les valeurs -1 ou 1. X − σ(X) est réduite. X est centrée, réduite. σ(X) 13. Une variable aléatoire binomiale est la somme de n VAR de Bernoulli. la somme de n VAR indépendantes de Bernoulli. le produit de n VAR de Bernoulli. la somme de quatre lois uniformes. 14. Soit X une VAR de loi géométrique de

fonction f pour densité. 2) Déterminer la fonction de répartition F de X. 3) Montrer que X a une espérance et que celle-ci vaut 1 . 2 4) a) Déterminer E((X – 1) 2). 3 – ln 2. 4 5) On appelle variable indicatrice d’un événement A, la variable de Bernoulli qui vaut 1 si A est réalisé et 0 sinon. 1 On considère maintenant la variable aléatoire Y, indicatrice de l’événement (X ≤ ) et la 2 1 variable aléatoire Z, indicatrice de l’événement (X > ). 2 a) Préciser la relation liant Y et Z puis établir sans

II/ Lois de probabilités: a) Loi de Bernouilli: Soit X une variable aléatoire discrète. On fait une expérience 1 fois et on considère X le nombre de succès obtenus. X prend les valeurs 0 ou 1 Soit p = P(x=1) --> c’est la probabilité de succès 1.p = P(X=0) --> c’est la probabilité de l’échec Ainsi on dit que X suit la loi de Bernouilli de paramètre P et on note x ~> B(p) (~> = suit) Exemple: On lance une fois un dé et on s'intéresse a l’obtention du chiffre “3” x:nombre

Synthèse de cours (Terminale ES) Æ Loi de probabilité discrète Loi de probabilité discrète Définition On considère un ensemble { x1 , x2 ,..., xn } de n valeurs réelles. Définir une loi de probabilité discrète sur cet ensemble c’est associer à chacune des valeurs xi n une probabilité pi de telle sorte que l’on ait : ∑p i =1 i =1. La loi de probabilité est alors parfaitement définie par la donnée du tableau suivant : xi x1 x2 … xn pi pi p2 … pn

Loi binomiale : révisions Epreuve de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues contraires : l’une appelée SUCCES (de probabilité p) est notée S, l’autre appelée ECHEC (de probabilité q = 1 − p) est notée S . Exemple : Une urne contient 10 boules : 7 bleues et 3 rouges, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard et on considère comme SUCCES le fait de tirer une boule rouge. Il s’agit d’une épreuve de Bernoulli avec pour succès S : « Tirer une boule

) Loi Uniforme Loi de Bernoulli ( ) Cadre Équiprobabilité. Cas particulier du tirage d’une boule parmi boules numérotées de à . Associe à chaque boule son numéro. Une épreuve de Bernoulli. Indicatrice du succès. Loi Binomiale ( ) Schéma de Bernoulli : répétition de épreuves de Bernoulli. Compte le nombre de succès obtenus au cours d’un schéma de Bernoulli. Loi Géométrique ( ) Schéma de Bernoulli : répétition de épreuves de Bernoulli dont

LOI BINOMIALES ET APPLICATIONS I) EPREUVE ET SCHEMA DE BERNOULLI 1) Epreuve de Bernoulli DEFINITION : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelé succès ( ? ), l’autre échec ( ?̅ ). EXEMPLES : • On lance une pièce de monnaie équilibrée ou non. On appelle par exemple succès, l’issue « pile » et échec l’issue « face ». • On lance un dé. On peut décider d’appeler succès la sortie du 6 et échec la sortie de 1, 2, 3, 4 ou 5. 2) Loi de Bernoulli