Loi des cosinus

e = n=0 xn x x2 xn =1+ + + ··· + + ··· , n! 1! 2 n! d’ou x xn x2 + + · · · + (−1)n + · · · . 1! 2 n! En faisant la somme et la diff´erence des deux pr´ec´edentes s´erie convergentes sur R, on obtient les d´eveloppenets des fonctions sinus et cosinus hyperboliques, soient e−x = 1 − ∞ shx = x3 x5 x2n+1 x2n+1 =x + + ··· + ··· (2n + 1)! 3! 5! (2n + 1)! n=0 ∞ chx = n=0 x2n x2 x4 x2n+1 =1 + + ··· + ··· . (2n)! 2! 4! (2n + 1)! On peut voir facilement que chx + shx = ex . 2. Fonctions circulaires

20.3 Méthodes de calcul de probabilités . . . . . 20.3.1 Par dénombrement . . . . . . . . . . 20.3.2 Par règles de probabilité . . . . . . . 20.3.3 Par arbre . . . . . . . . . . . . . . . 20.3.4 La technique des anagrammes . . . . 20.4 La loi binomiale et la loi multinomiale . . . 20.5 L’espérance de gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. Perret page viii Version 3.001 équivalence P ⇔ Q réciproque

ne nous limitons ni au niveau ni au programme de Seconde. Il n'est pas nécessaire de déjà s'y connaître en Physique-Chimie pour lire ce tutoriel. Par contre, quelques connaissances en géométrie s'imposent : la symétrie, les angles, les sinus et cosinus, les termes "parallèle" et "perpendiculaire", les théorèmes de Pythagore et de Thalès, ainsi qu'une vague idée de ce qu'est un vecteur. Et pour faire les exercices, il vous faudra une calculette munie des touches et . Les chapitres Diffraction et

tente de modéliser la relation entre la résistance de la sonde et la température du bain par une loi linéaire du type suivant : R = Ro.(1+A.T) Déduire graphiquement les valeurs de A et de R0. Que pensez-vous des écarts entre le modèle (la droite) et vos points expérimentaux ? Pourquoi parle-t-on de Pt100 ? La résistance d’une thermistance à coefficient de température négatif évolue selon la loi suivante : Dans cette expression, RT est la résistance mesurée à la température T (en °C). R0

. . . . . . . . 9.2.2 Expressions rationnelles . . . . . . . . . . . . 10 Probabilités 10.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Distribution de fréquences. Loi de probabilité 10.2.1 Distribution de fréquences . . . . . . . 10.2.2 Loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . 10.2.3 Loi des grands nombres . . . . . . . . . 10.2.4 Équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Quelques exemples de référence . . . . . . . . 10.4 Modélisation(s) . . . . . . . . . .

Monte-Carlo 31 2.1 Les différentes notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Théorèmes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.2 Application de la loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2.1 Dessin de la fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2.2 Dessin de la densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Les donn´es ne sont pas consid´r´es comme une information compl`te, mais une e ee e information partielle d’une population infinie. Il est alors naturel de supposer que les donn´es sont des r´alisations de variables al´atoires, qui ont une certaine loi e e e de probabilit´. e e N´cessite outils math´matiques plus pointus (th´orie des probabilit´s). e e e Questions typiques : (a) Estimation de param`tres. e (b) Intervalles de confiance. (c) Tests d’hypoth`se. e (d) Mod´lisation : exemple (r´gression

des différentes faces du dé (on notera ces faces F1, F2, … et F6 selon le numéro C inscrit sur cette face). 2  ontrer qu’il existe a tel que : p (1) = p (6 ) = 6a ,  p (2) = p ( 5) = 2a et p ( 3) = p ( 4 ) = 3a. M Calculer a. En déduire la loi de probabilité p. 3  alculer les probabilités des événements A et B où : C A : « le nombre obtenu est pair » ; B : « le nombre obtenu est inférieur ou égal à 3 ». Devoir 3 – MA20-12 17 Exercice 2 (8 points) Partie I Soit n un entier

Lorsque l’objet n’est pas de dimension 2 alors la valeur renvoy´e est NULL. e 2.9 Fonctions math´matiques e La liste des commandes math´matiques les plus courantes sont : e – : prend le log en base 1. – : prend le log en base 10 – , et : cosinus, sinus et tangente. – : factoriel d’un nombre. – : prend la racine carr´e d’un nombre e 2.10 Fonctions g´n´riques is.object et as.object e e Les fonctions g´n´riques is.object et as.object permettent de faire des tests e e et des conversions

f(x0) , f est bien continue en x0. 10 La dérivée d’une constante est 0 : (K)’= 0. n n n-1 Dérivée de x : (x )’ = n x pour n≠0. 1 • Dérivée de x : ( x ) ' = . Cela revient à appliquer la formule précédente 2 x pour n= 1/2. • Dérivée de sinus, cosinus, tangente : 2 2 (sin x)’ = cos x , (cos x)’ = - sin x , (tan x)’ = 1 + tan x = 1 / cos x. • Dérivée d’une somme (u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x) • Dérivée d’un produit : (u(x) v(x))’ = u(x) v’(x) + u’(x) v(x). En particulier (K u(x) )’ = K u’(x). u