Marche harmonique

SUJET 31 (b) (Banque 2010) Oscillateurs mécaniques Étude avec tracé de courbe sur papier millimétré La totalité de ce sujet fait partie de l'épreuve de physique-chimie du baccalauréat. Ce sujet est donc soumis à la clause de STRICTE ET TOTALE CONFIDENTIALITE. Il ne peut faire l'objet d'aucune diffusion, y compris après la tenue de la session du baccalauréat. Fiche n° 1 : DESCRIPTIF DU SUJET DESTINÉ AUX PROFESSEURS Démarche Dans ce sujet on demande au candidat : - de tester la validité d’une

de cours: Lavocat-Dubuis Xavier Evaluation du cours Intra (OME): 25% Examen optique 25% Final: 25% Labos (MHS-optique-OEM): 20 % (site du cours phy335 section labo) évaluation tp:5% (6 obligatoires sur 9) Plan de cours: Mouvement harmonique simple: cas du ressort Onde se propageant le long d'une corde: aspect unidimensionnel L'onde sonore: aspect tridimensionnel L' onde électromagnétique - optique géométrique (macroscopique-rayons lumineux) - optique physique (microscopique-interférences)

1 22n +1 = lim (n + 1)2 n →+∞ e (2 n +1) ln 2 = 0 < 1, la série est donc convergente . d / La série est àtermes positifs , on peut donc appliquer le critère d 'équivalence : on a u n = n2 3 n +1 ∼ 1 1 , la série harmonique ∑ est divergente , donc la série ∑ u n est divergente . n n n ⎡ ln(n ) ⎤ u (ln( n )) n 1 e / Critère de D ' Alembert : n +1 = =⎢ ⎥ . ln(n + 1) un (ln(n + 1))n +1 ⎣ ln(n + 1)) ⎦ u u 1 0 ≤ n +1 ≤ on a : ⇒ lim n +1 = 0 < 1, la série

autour de l'oscillateur harmonique On s'intéresse à quelques propriétés des oscillateurs à une dimension, c'est à dire dont l'évolution en fonction du temps peut être analysée par une fonction x(t). On appelle oscillateur harmonique tout système dont la fonction x(t) correspondante est solution de l'équation différentielle : 0 rad/s,est la pulsation propre de l'oscillateur le pendule élastique : On considère un solide (S) de masse m, de centre d'inertie G. Quand S est immobile dans le référentiel

− qn+1   a si q 1 = 1−q   a(n + 1) si q = 1. On remarque ainsi que lim Sn existe si et seulement si |q| < 1. Dans ce cas la série géométrique n→+∞ +∞ a.qn = a converge et on a n=0 a 1 = . 1−q 1−q 1 2) Série harmonique. C’est la série dont le terme général est de la forme un = où n ∈ N∗ . n Montrons que cette série n’est pas convergente. Pour cela montrons qu’elle n’est pas de Cauchy. 1 1 1 En effet, posons Sn = + + · · · + · 1 2 n 1 1 1 1 1 1 1 1

n=1 fn+1 (x) xn n Posons fn (x) = on a lim = lim x = |x|. Si |x| < 1, la série est absolument n−→∞ n−→∞ n fn (x) n+1 convergente et si |x| > 1 la série diverge. Etudions le cas où |x| = 1. 1 x = 1 : c’est la série harmonique , elle est divergente. n (−1)n x = −1 : c’est la série harmonique alternée , elle est convergente. n D’où : ∆ = [−1, 1[. Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel) Soit an xn une série entière. On suppose qu’il existe x0 ∈ R tel que la suite (an xn0 )n soit bornée. Alors : 1. La série an xn

TP1- EDO : Vibrations d’un système à n ressorts 1 Prise en main : Oscillateur harmonique Soit la fonction numérique; Unum :Unum=D*sin(tk/m) D=K=n==1 On a aussi la fonction obtenue analytiquement; Uexact : Uexact=sin(t) Comparons ces deux fonctions à l'aide d'un graphique : Unum → ronds bleus Uexact → rouge On peut observer que Unum correspond bien à Uexact 2 Système à ressorts Voici les différents programmes et leurs fonctions: init_ressort.m : il permet de

COURS PHYSIQUE APPLIQUEE OSCILLATEURS SINUSOIDAUX TSATI La première condition permet de calculer la fréquence des oscillations et la seconde leur amplitude. Généralement dans la chaîne directe on trouve un amplificateur et dans la chaîne de retour un filtre sélectif, dans ce cas la fréquence centrale du filtre correspond à la fréquence des oscillations. 2°) Oscillateur à filtre de Wien On associe un filtre sélectif (ici le filtre de Wien) et un AO en fonctionnement linéaire. Schéma : +

le cas limite de la règle de d’Alembert. Le second résultat est un cas particulier de ce que l’on appelle règle de Raabe-Duhamel. Exercice 8 - Un cran au dessus ! - L2/Math Spé 1. Il faut savoir que la suite des sommes partielles de la série harmonique est équivalente à ln n. On utilise ici seulement la minoration, qui se démontre très facilement par comparaison à une intégrale : 1+ 1 1 + ··· + ≥ 2 n n+1 1 dx = ln(n + 1). x On peut obtenir une estimation précise du dénominateur également

fn+1 (x) xn n Posons fn (x) = on a lim = lim x = |x|. Si |x| < 1, la série est absolument n−→∞ n−→∞ n + 1 n fn (x) convergente et si |x| > 1 la série diverge. Etudions le cas où |x| = 1. 1 x = 1 : c’est la série harmonique , elle est divergente. n (−1)n x = −1 : c’est la série harmonique alternée , elle est convergente. n D’où : ∆ = [−1, 1[. Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel) Soit an xn une série entière. On suppose qu’il existe x0 ∈ R tel que la suite (an xn )n soit bornée. Alors : 0 1. La série 2. La