Matrice diagonalisable

u(ker p) ⊂ Imp et Imp ⊂ ker u. b) En déduire u2 = 0. c) Réciproque ? Exercice 12 X MP [ 02939 ] [correction] Soient E un espace vectoriel de dimension finie, p et q dans L(E) tels que p ◦ q = q et q ◦ p = p. Les endomorphismes p et q sont-ils diagonalisables ? codiagonalisables ? Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés 2 Exercice 13 Mines-Ponts PC [ 02242 ] [correction] Soient (n, p) ∈ (N )2 avec n > p, E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives

$\mathcal{E}$ dans $\mathcal{F}$, il existe $A\in M_{n\times p}(R)$ et $b\in R^n$ uniques tels que, si x est le vecteur des coordonnees d'un point $M$ de $\mathcal{F}$, alors $y=Ax+b$ est le vecteur des coordonnees de $f(M)$. En outre, la matrice $A$ est la matrice de la partie lineaire de $f$ dans les bases $v_1, \ldots, v_p$ et $w_1, \ldots, w_n$ et $b$ est le vecteur des coordonnees de $f(P_0)$. - Exemple, ou l'on se donne, numeriquement dans R^2, l'image $P',Q',R'$ d'un triangle $P,Q,R$

correspondante s’écrit gλ,n(t) = pour t ( n − 1)! ≥0. 1.1.6. Valeurs propres et vecteurs propres Soit A une matrice carrée d’ordre n .Un vecteur non nul X de Cn est appelé vecteur propre ( à gauche )de A s’il existe un nombre complexe λ tel que : XA = λX ou X( A - λI ) = 0 , I étant la matrice unité d’ordre n . Le nombre λ associé à X est appelé valeur propre. Une matrice A est diagonalisable si et seulement si il existe une base de vecteurs propres. Les valeurs propres de A sont les racines de l’équation

(individus) et 3 colonnes (variables) :  1 −1 0  A =  −1 2 −1  0 −1 1  Toutes les réponses seront données sous forme mathématique sans approximation numérique. 1 Quelle est la trace de la matrice A? Quel est son déterminant? 2 Quel est le rang de A? Donner une base de son noyau? 3 Pourquoi est-elle diagonalisable? 4 Donner ses valeurs propres avec leur ordre de multiplicité. 5 Donner une base de vecteurs propres orthonormée. 3 6 R3 est muni du produit scalaire x y = ∑ i =1 xi yi . Soit f l'application

Classification des EDP . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 A propos des m´thodes de discr´tisation d’EDP . e e 1.2 Analyse num´rique matricielle : motivations et rappels e 1.2.1 Motivation et classification des m´thodes . . . . e 1.2.2 Rappels sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 5 6 7 7 8 2 Approximation de la solution de l’´quation de la chaleur en e dimension 1 par diff´rences finies e 2.1 Principe de la m´thode : le probl`me aux limites d’ordre

0). Définition 13 Eventuellement on peut avoir U ouvert de Rn et F = Rm ; on peut alors noter la différentielle sous forme matricielle ; cette matrice est appelée matrice jacobienne. Elle est de la forme :   δf δf1 δf1 1 ... δx δx2 δxn   δf21 δf δf  δx1 δx22 ... δxn2   . .. ..  ..  .  .  . . .  δfm δx1 δfm δx2 ... δfm δxn Si n = m, la matrice jacobienne est carrée, on peut donc considérer son déterminant, appelé jacobien de f . 1.2 Le théorème des accroissements finis 1.2.1 Résultats

1. Algèbre 1.1 Relations 1.2 Structures algébriques 1.3 Nombres entiers, nombres rationnels 1.4 Arithmétique dans Z 1.5 Polynômes et fractions rationnelles 1.6 Généralités sur les applications 1.7 Applications linéaires – Espaces vectoriels 1.8 Matrices – Déterminants – Systèmes linéaires 1.9 Espaces vectoriels euclidiens 1.10 Réduction des endomorphismes 1 1 2 5 7 8 11 12 17 22 26 2. Analyse 2.1 Espaces vectoriels normés 2.2 Nombres réels 2.3 Nombres complexes 2.4 Suites 2.5 Fonctions réelles

´tape: inventaire des ´v`nements possibles . . . . . . . . . . e e e e ∗ 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9 LEO, Universit´ d’Orleans, rue de Blois, BP 6739, Orleans Cedex 2, France; Courriel: jeane bernard.chatelain@univ-orleans.fr 2.2 2`me ´tape: matrice d’information du probl`me. . . . . . . . . . . e e e 2.3 3`me ´tape: R`gles de d´cision dans l’incertain et aversion au risque e e e e 2.3.1 Cas non probabilisable (incertitude), ´v`nement non omis: e e 2.3.2 Cas probabilisable (risque) g´n´ral.

ensemble des fonctions affines définies sur RR à valeurs dans R. i ˜ Li : ensemble des fonctions affines définies sur RR à valeurs dans R. L : ensemble des fonctions affines définies sur RR à valeurs dans RR . Idn : matrice identité. D : ensemble des matrices diagonales. P : ensemble des matrices de permutation. C 1 : ensemble des fonctions continuement différentiables (continues, dérivables, de dérivée continue) . Sm : ensemble des permutations de {1, . . . , m}. 1 Table des matières Notations

application Γ de E   u, v ∈ E E est dite antisymétrique si on a pour tout couple     u .Γ(v ) = −v .Γ(u ) Les applications antisymétriques sont linéaires. b) Matrice associée à Γ Etant linéaire, l’application antisymétrique Γ peut être représentée par une matrice 3x3 antisymétrique ( Lij ) dans la base ei . Les éléments de matrice de L sont donnée par {}   Lij = ei .Γ(e j ) = − L ji Donc L peut s’écrire :  0  L =  S3 − S  2 − S3 0 S1 S2   − S1  0    S1   