Matrice inversible

ALGEBRE LINEAIRE Fiche synthèse n°1 Matrices - Opérations * Nous rencontrons le calcul matriciel et les systèmes linéaires dans différentes disciplines : gestion, économie, recherche opérationnelle, statistique, programmation, optimisation, informatique, logistique, modélisation de situations économiques réelles etc.… * Une matrice peut être définie comme étant un tableau contenant n lignes et p colonnes. On repère généralement un élément d’une matrice par deux nombres donnés dans cet ordre :

y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur E. Déterminant d’une matrice Exercice 5 [ 01414 ] [correction] ¯ Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (C). On note A = (¯i,j ) ∈ Mn (C). a Former une relation liant det(A) et det A. Exercice 6 [ 01415 ] [correction] ¯ Soit A ∈ Mn (C) telle que t A = A. Montrer que det A ∈ R. Exercice 7 [ 01416 ] [correction] Soit A une matrice antisymétrique d’ordre 2n + 1. Montrer que det A = 0. Ce résultat est-il encore vrai lorsque A est d’ordre

matriciel 3 1.1 Dénitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . 1.2.3 Multiplication des matrices . . . . . . . . . . 1.3 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Opérations élémentaires sur une matrice . . . 1.3.2 Application pour déterminer l'inverse d'une carrée . . . . . . . . . . . . . . .

Documents III Matrice d’une application lin´aire e 28 III.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 e III.2 Calculer avec une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 III.3 Influence de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 IV Calculs avec des matrices IV.1 D´terminant d’une matrice e IV.2 Transpos´e d’une matrice . e IV.3 Addition de matrices . . . . IV.4 Multiplication d’une matrice IV.5 Produit de matrices . . .

(λ ai , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p j ≤ p 2) Matrices particulières • Une matrice carrée de format (n,n) est notée : Mn(K) • La matrice nulle de format (n,p) est notée : 0(n,p) = (ai,j) avec ai,j = 0 pour tout i et j de [|1, n|] x [|1, p|] • La matrice élémentaire de format (n,p). Soit (i, j) ∈ [|1, n|] x [|1, p|] fixé alors : 0 Ei , j = 0 0 0 0 1 0 ∈ Mn , p ( K ) 0 Dans Mn, p(K), il y a n.p matrices élémentaires. Famille des matrices élémentaires : (E1,1 ; E1,2 ; … ; E1,p ; E2,1 ;

lin´aire. e e e e I.2. Matrice associ´e a une application semi-lin´aire. e ` e a. Soit A = aij avec aij la ieme composante de u(ej ) sur la base B = (ek ). Soit x = n n k=1 £ ¢ n xk ek et y = u(x). k=1 Il vient y = k=1 xk u(ek ) donc yi = xk aik . Ainsi Y = AX . b Soit x quelconque de E et soit y = u(x). Avec des notations claires on a, d’apr`s a. ci-dessus : e Y = AX et Y = BX . Or Y = SY et X = SX donc SY = ASX = AS X soit Y = S −1 AS X puisque S est inversible. Il en r´sulte que

valeurs propres donn´es. e e Yasmine Samia (U of O) M´thodes Math´matiques II e e Vendredi, 30 Mars 2012 3 / 25 Matrices Diagonales Rappel: Une matrice diagonale est une matrice carr´e dont dont les ´l´ments e ee non diagonaux sont nuls. Exemples  −1 0 0 3  0 0  0 0  1 4   2 0 0 0 0 −8 0 0   0 0 −5 0 0 0 0 6 Il est tr`s simple et utile de travailler avec les matrices diagonales pour e plusieurs raisons: Elles sont triangulaires inf´rieures et sup´rieures ` la fois. e e a Leurs

devriez obtenir la table de multiplication... Les colonnes précédées d’un « $ » ont été recopiées en mode absolu, les autres en mode relatif Etape 2 : On cherche à calculer le produit de deux matrices A et B, A étant par exemple une matrice 3*4 et B une matrice 4*5. Entrez les deux matrices sur des plages rectangulaires adéquates (le quadrillage n’est dessiné que pour aider à la visualisation) : On obtient par exemple ceci : Sélectionnez alors la plage de cellules D9 :H11, entrez

Modèle recommandé TI TI 83 + TI 84 TI 89 TI Voyage 200 TI 84 TI 89 TI Voyage 200 TI 83 + TI 84 TI 89 TI Voyage 200 TI 84 sans matrice TI 89 TI Voyage 200 Modèle recommandé CASIO Graph 35+ Graph 65 + Graph 100+ Class Pad 300 Graph 65 + Graph 100+ Class Pad 300 Graph 35+ Graph 65 + Graph 100+ Class Pad 300 Graph 65 + sans matrice Graph 100+ Class Pad 300 TI 83 + Graph 35+ 

−1 . Correction [005753] Exercice 10 **** Pour n entier naturel, on pose un = général un . (−1)n 2n+1 1 . Convergence et somme de la série (numérique) de terme ∑nk=0 4k+1 Correction [005754] Exercice 11 *** Soit A une matrice carrée complexe de format p ∈ N∗ . Rayon de convergence et somme en fonction de χA de n n la série entière ∑+∞ n=0 Tr(A )z . Correction [005755] Exercice 12 *** 2 2 Pour x réel, on pose F(x) = e−x 0x et dt. En développant F en série