Matrice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 2 La diagonalisation d’une matrice 2.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2 CNS pour qu’une matrice soit diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Exemples 3.1 avec valeurs propres simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

les commandes par th`emes help nom d´ecrit la fonction nom.m lookfor nom recherche une instruction `a partir du mot cl´e nom helpwin ` MATLAB TP 0 : INTRODUCTION A 3 Exercice 2. Trouvez la fonction qui donne les valeurs propres d’une matrice. Tapez help de cette fonction. ´ne ´rales 4. Commandes ge 4.1. Gestion des fichiers. Vous pouvez utiliser la petite fenˆetre en haut `a droite, ou ` a d´efaut : pwd cd rep dir delete affiche le nom du r´epertoire courant pour Matlab

la toolbox Gestion des variables et de l'espace de travail whos affiche les variables courantes, format long clear efface les variables et fonctions de la mémoire pack réorganise la mémoire size disp cd pwd renvoie la taille d'une matrice affiche une matrice de texte change le directory courant affihe le directory courant length renvoie la longueur d'un vcteur Commandes système dir, ls liste les fichiers delete suppression de fichiers getenv renvoie la variable d'environnement ! unix appelle

du nuage déforme le moins possible le nuage intial. Dans la suite, nous identifions un vecteur x ∈ Rp avec la matrice colonne de ses coordonnées dans la base canonique, que nous notons x = (x1 , . . . , xp )t , où pour une matrice A, At désigne sa transposée. 1 Les données Les données sont sous la forme d’un tableau à n lignes et p colonnes, que l’on stocke sous la forme d’une matrice X de taille n × p : – chaque ligne (x1 , . . . , xp ) de X représente les valeurs prises par l’individu i sur

par le biais du toucher, de la température, de la pression et de la douleur. II. Tissu conjonctif Le plus abondant Le plus répandu dans tous les corps sauf dans le cerveau Il va lier des cellules entre elles. Il est composé de cellules, d’une matrice extracellulaire et de fibres vascularisées. Grandes classes de tissu conjonctif : Tissu conjonctif lâche Tissu conjonctif dense Le cartilage Le tissu osseux Le tissu conjonctif liquide : le sang Fonctions : Soutien Protection Filtration Isolation

de distances entre une matrice et certaines parties de Mn ( ! ) Notations Dans ce sujet, n est un entier naturel non nul et on note : Mn ( ! ) : la ! -algèbre des matrices carrées réelles d’ordre n. Mn,1 ( ! ) : le ! -espace vectoriel des matrices à n lignes et à une colonne. Pour une matrice A de Mn ( ! ) , t A est sa matrice transposée, rang ( A) son rang et Tr ( A) sa trace. In : la matrice unité de Mn ( ! ) . S n ( ! ) : le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de Mn ( ! )

−1 . e a Nous avons ensuite t U U = t S −1t ΓΓS −1 = S −1 HS −1 = P D−1 P −1 P D2 P −1 P DP −1 = I3 et U est bien orthogonale. Il reste ` calculer U : a   0 1 0 U = ΓP D−1t P =  −1 0 0  . 0 0 −1  3. On a, pour A = (ai,j ) et B = (bi,j ) matrices de Mn (R) : (A | B) = 1≤i,j≤n ai,j bi,j . L’application ( | ) est donc le produit scalaire canonique de Mn (R), pour lequel la base canonique est une base orthonormale. 4. M + tM M − tM M + tM M − tM + avec ∈ Sn (R) et ∈ An (R). Comme 2 2

chapitre Chapitre 17 Matrices et applications linéaires Sommaire 17.1 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.1 Matrice d’une famille de vecteurs dans une base . . . . . . 17.1.2 Matrice d’une appn linéaire dans un couple de bases . . . . 17.1.3 Coordonnées de l’image d’un vecteur par une appn linéaire 17.1.4 Propriétés opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2.1 Matrice de passage d’une

Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l’année 2005-2006 1 Devoir à la maison Exercice 1 Soient a, b, c des réels vérifiant a2 + b2 + c2 = 1 et P la matrice réelle 3 × 3 suivante :   2 a ab ac P = ab b2 bc ac bc c2 1. Calculer le déterminant de P. 2. Déterminer les sous-espaces vectoriels de R3 , ker P et Im P. 3. Soit Q = I − P, calculer P2 , PQ, QP et Q2 . 4. Caractériser géométriquement P et Q. Correction [002578] Exercice 2 Soit E un espace

- Notation et relations de base On sait que le comportement dynamique des structures mécaniques conservatives peut être représenté par l’équation matricielle suivante : M y(t)+ K y(t) = f(t) (2) 1 où M et K sont respectivement les matrices réelles symétriques Masse et Raideur de dimension (n , n) ; M Supposée définie positives, K non négative. f(t) représente le vecteur des forces excitatrices. En régime harmonique, f(t)=f.e , où s=j , étant la pulsation de la force excitatrice