Maximum de vraisemblance

précis C-2 Vraisemblance d’un échantillon Rappels de notations : • θ le vecteur de paramètre inconnu ( θ ∈ R p ) • fθ(x) la loi (continue ou discrète) de X • ( X1,..., X n ) l’échantillon aléatoire associé au sondage ( x1,..., xn ) une réalisation de cet échantillon ((un sondage • particulier) Remarque : La loi fθ(x) de X (ainsi que toute fonction dépendant de θ) sera notée dans ce chapitre f(x, θ), car on s’intéressera aux variations de la loi par rapport à θ. C-2 Vraisemblance d’un échantillon

) 2 = 0,9418 s = 0,97 Médiane = 1,55, à mi-chemin entre 1,3 et 1,8. Exercice 2 En utilisant les données de l’exercice précédent, tester les hypothèses suivantes : a. µ > 2 b. µ < 0,7 c. σ2 = 0,5 d. En utilisant un test du ratio de vraisemblance, tester l’hypothèse suivante : µ = 1,8, σ2 = 0,8. a. On rejette l’hypothèse si 1,52 est trop petit relativement à la valeur supposée de 2. Puisque les données sont tirées d’une distribution normale, on peut utiliser un t test pour tester l’hypothèse

accompli / Tienne jusqu'à la fin le théâtre rempli'' (Boileau, l'Art poétique, Chant III, 1674). Tirée des commentaires italiens de la Poétique (VII) d'Aristote, cette règle s'est imposée dans le théâtre classique. Ces unités cherchent à réduire au maximum l'écart entre le lieu et le temps de l'action dramatique d'une part, et le cadre et la durée de l'action représentée sur scène d'autre part. Origines: On a pris l'habitude de considérer en bloc la règle des trois unités ; en fait, l'unité d'action

leur variance. Il est donc logique de se poser la question de l’existence d’une borne inférieure à l’ensemble des variances des estimateurs sans biais de g(θ). Pour cela, on doit définir la fonction de vraisemblance. Définition 6 On se place dans le cadre d’hypothèses suivant : on appelle vraisemblance du paramètre θ, l’application L : Θ → + définie par : — cas a) : si E est fini ou dénombrable : L(x1, x2, ..., xn ; θ) = Pθ({x1, x2, ..., xn}) ; — cas b) : si E = ou d et Pθ admet une densité fθ : L(x1

et identiquement distribu´es est e e e e g´n´r´ par une fonction de distribution ci-dessous : e ee f (y; θ) = θ exp (−θy) avec, θ > 0; y > 0 (1) 1. Calculer l’esp´rance et la variance de y. e 2. Estimer θ par la m´thode du maximum de vraisemblance. e ˆ 3. θ est-il sans biais, efficace, convergent ?. ˆ 4. Si θ est biais´ trouver un estimateur sans biais de θ et ´tudier son efficactit´ et sa e e e convergence. 5. On suppose que n=150 et ∑ ˆ yt = 25. Calculer la valeur de

l’estimateur du paramètre de la copule. 1.2 Méthode de maximum de vraisemblance : Soit, donc, par dérivation on peut obtenir la fonction densité du vecteur (x1,…. ,xn) definie par : La fonction log-vraisemblance de l’échantillon est donc définie par : il faut donc maximiser cette fonction en ϴ, ce qui peut s’avérer pénible en pratique. La méthode du maximum de vraisemblance peut engendrer des temps de calcul très longs pour une

qu'en un jour, un seul fait accompli/Tienne jusqu'à la fin le théatre rempli » (art poetique 1674). Encore faut-il comprendtre quelle est l'origine de ce principe et en saisir les enjeux. 1) Le fondement de l'esthetique classique: La vraisemblance La vraisemblance ne peut ni ne doit se confondre avec le vrai.Pour la scène classique, l'enjeu n'est pas d'offrir ce qui serait une copie du reel, mais de proposer aux spectateurs une version épurée et idéalisée permettant d'acceder à une vérité supérieure

et le pays . Ca s'apelle regle de la couleur local? Ni au moeurs ni au coutume de la nation- racine a dit on ne doit pas change qqch bienseance externe est la corps entre l'objet (le caractere) et le sujet (le public) la regle de la vraisemblance commande au poete de suivre d'opinion comuune dons la conception du sujet, la regle de bienseance, fait de la meme opinion sans guide dans le trase de caractere et de moeurs de personnage. La regle suivante- le merveilleux est une partie indisponsable

Indicateurs de performance............................................................................8 1.Sensibilité et spécificité..................................................................................................8 2.Rapport de vraisemblance..............................................................................................9 3.Valeurs prédictives positive et négative..........................................................................12 B. Comment choisir un seuil de

significatifs. Nous avons comme point de départ le modèle général suivant : yt = δ + φ1 yt−1 + φ2 yt−2 ... + φ6 yt−6 + ǫt . (7.78) CHAPITRE 7. LES MODÈLES ARMA(P,Q) Cinq méthodes seront considérées. 200 1. Le rapport de vraisemblance La méthode du rapport de vraisemblance est bien connue. Il s’agit de formuler une série d’hypothèses à tester. Par exemple, H0 : p = 4 H1 : p = 6 On estime alors le modèle AR contraint sous H0 p = 4 vs le modèle AR non contraint sous H1 p = 6. En fait, on teste si