Méthode de Bézout

est une manière d'approcher un nombre réel, dans le cas du nombre d'or, elle est simple. On peut l'approcher par les valeurs 1 ou 1 + 1/1. La fraction suivante est plus précise : 1 + \cfrac 1{1 + \cfrac 11} Le prolongement à l'infini de cette méthode donne exactement le nombre d'or : \varphi = 1+ \cfrac 1{1 + \cfrac 1{1 + \cfrac 1 {1 + \cfrac 1{1 + \cdots}}}} Le fait que la fraction ne s'arrête jamais montre que le nombre d'or n'est pas un nombre rationnel. Une démonstration est proposée dans

laquelle il est possible de fonder l'ensemble des connaissances. Descartes voit dès 1629, dans les Règles pour la direction de l'esprit, les possibilités qu'offrent les mathématiques pour jouer ce rôle6. Descartes souligne, dans le Discours de la méthode, l'attrait des mathématiques, « à cause de la certitude et de l'évidence de leurs raisons ». Le calcul algébrique se développe alors à la suite des travaux de Viète et de Descartes. Newton et Leibniz, indépendamment, inventent le calcul infinitésimal

laquelle il est possible de fonder l'ensemble des connaissances. Descartes voit dès 1629, dans les Règles pour la direction de l'esprit, les possibilités qu'offrent les mathématiques pour jouer ce rôle7. Descartes souligne, dans le Discours de la méthode, l'attrait des mathématiques, « à cause de la certitude et de l'évidence de leurs raisons ». Le calcul algébrique se développe alors à la suite des travaux de Viète et de Descartes. Newton et Leibniz, indépendamment, inventent le calcul infinitésimal

pour les groupes abéliens finis Considérons G un groupe abélien fini et décomposons son ordre n en facteurs premiers : αi α n = pi i . On pose Gi = im(x → x n/pi ). α Montrer que G est isomorphe à Gi et que card Gi = pi i . indication. Le théorème de Bézout donne des entiers ui tels que αi regarder le morphisme x → (x ui n/pi ) de G dans Gi . Groupe de Prüfer Soit p un nombre premier. Montrer que {z : ∃n , zp = 1} est un sous-groupe de × qui n’est pas isomorphe au produit de deux groupes non nuls. indication

chiffré) est appelé cryptogramme d'autre part, faire en sorte que le destinataire sache les déchiffrer en utilisant  les outils préétablis ou joints aux données. Le fait de coder un message de façon à le rendre secret s'appelle chiffrement. La méthode inverse consistant à retrouver le message original, est appelée déchiffrement. Le chiffrement se fait généralement à l'aide d'une clef de chiffrement, le déchiffrement avec une clef de déchiffrement. On distingue généralement deux types de clefs

groupes abéliens finis Considérons G un groupe abélien fini et décomposons son ordre n en facteurs premiers : n = αi α pi i . On pose Gi = im x → x n/ pi Montrer que G est isomorphe à . α Gi et que card Gi = pi i . Indication. Le théorème de Bézout donne des entiers ui tels que regarder le morphisme x → x α ui n/ pi i de G dans α ui n/ pi i = 1 ; Gi . Groupe de Prüfer n Soit p un nombre premier. Montrer que z ∈ : ∃n ∈ , z p = 1 est un sousgroupe de × qui n’est pas isomorphe au produit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 11.2 Minorations polynômiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 11.3 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 12 Méthode de Newton 154 12.1 Étude générale et existence d’une racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 12.2 Approximation de la racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5 13 Complexes et polynômes 13.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Exp et méthode de Newton 158 12.1 Étude générale et existence d’une racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 12.2 Approximation de la racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6 13 Complexes et polynômes 13.1

domaines de transmission de données, de communications locales et à distance, de l’administration des réseaux et plus généralement de l’informatique.  Génie Logiciel La filière Génie Logiciel a pour objectif de former des ingénieurs maîtrisant les méthodes d’analyse et de conduite de projets informatiques ainsi que les langages et les outils menant au développement de logiciels. Les futurs diplômés de cette filière auront acquis la compétence et l’expérience pour suivre et piloter toutes les étapes

consécutifs, il y a au maximum 11 entiers impairs dont 2 multiples de 5. Il y a au maximum 9 nombres premiers. Ce maximum est atteint pour les entiers de 2 à 23. 92 2c(2c – 2) + 1 = (2c – 2 + 1)2. Chapitre 2. Nombres premiers 11 PGCD, théorème de Bézout, théorème de Gauss 3 Résolution de problèmes 1 Entiers premiers entre eux 1. a. et b. PGCD(9 ; 12) = 3, PGCD(24 ; 32) = 8, PGCD(18 ; 36) = 18, PGCD(18 ; 6) = 6, PGCD(12 ; 25) = 1, PGCD(5 000 ; 1 000) = 1 000. c. PGCD(a ; b) = b si et seulement si