Modèle vectoriel

générales …...………… Exercices corrigés : Structure de l’atome - Connaissances générales Chapitre II : Modèle quantique de l’atome : Atome de Bohr ……..……… II.1 Atomes hydrogénoïdes selon le modèle de Bohr : Applications à l’ion Li2+ ………………………………………………………….. II.2 Spectre d’émission de l’atome d’hydrogène …………………... Exercices corrigés : Modèle quantique de l’atome : Atome de Bohr Chapitre III : Modèle ondulatoire de l’atome …………………………….. III. 1. Postulat de Louis de Broglie …………………………….…… III. 2. Principe

SERVER VI - Les réseaux client-serveur VI-1 - L'apparition du modèle client-serveur VI-2 - Les avantages du modèle client-serveur VI-3 - Le processus d'une requête SQL en client-serveur VI-4 - Le Client et le Serveur VI-5 - Le client VI-6 - Le serveur VI-7 - Les spécifications techniques pour un serveur VII - Les organismes de normalisation VII-1 - L'influence des normes VII-2 - Les principaux organismes de normalisation VIII - Le modèle OSI VIII-1 - La normalisation des communications des réseaux

fonctions bornées et continues par morceaux de IR dans C : c’est un espace vectoriel I sur C . Il est muni de la norme uniforme définie par I x ∞ = sup x ( t ) t ∈ IR Pour tout ω appartenant à IR , on note e ω la fonction définie sur IR par la iωt formule : e ω ( t ) = e . On note U la fonction définie par U ( t ) = 1 si t > 0 , = 0 sinon. Tous les sous-espaI ces vectoriels considérés seront des C -espaces vectoriels. On notera x∗ la conjuguée complexe de x , c’est-à-dire la fonction : t a x

ainsi que le soin apport´ a la r´daction e e e` e seront des ´l´ments pris en compte dans la notation. Les repr´sentations graphiques et les dessins ee e correctement ex´cut´s seront appr´ci´s. e e e e Dans tout le probl`me, En d´signe un espace vectoriel euclidien orient´ de dimension n ≥ 1, muni du e e e produit scalaire not´ (x|y). La norme euclidienne associ´e est not´e ||x|| = (x, x). e e e e On note L(En ) l’ensemble des endomorphismes de En , S(En ) l’ensemble des endomorphismes sym´triques

Structures a¢ nes (en dimension …nie) 1 Plan 1. Structure a¢ ne sur un ensemble (a) Dé…nition, identi…cation avec l’ espace vectoriel directeur par le choix arbitraire d’ une origine. (b) Exemples : Espace physique, ensemble des solutions d’ une équation x0 = ax + b(t), espaces vectoriels, en particulier Rn . 2. Sous-espaces a¢ nes ! ! (a) Dé…nition : F = I + F , propriété F = J + F pour tout point J 2 F . (b) Cas particuliers : points, droites, plans, hyperplans (relation avec les noyaux de

espaces vectoriels normés réels, f une application de E1 dans E2 telle que pour tout compact K de E2 , f −1 (K) soit un compact de E1 . Montrer, si F est un fermé de E1 , que f (F ) est un fermé de E2 . 1 Continuité et topologie Exercice 1 [ 01123 ] [correction] Justifier que U = (x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 < x3 + y 3 est un ouvert de R2 . Exercice 2 [ 01124 ] [correction] Montrer que GLn (R) est une partie ouverte de Mn (R). Exercice 3 [ 01125 ] [correction] Soit E un espace vectoriel euclidien

Polynômes factoriels On note ℝ [X ] la ℝ algèbre des polynômes réels en l’indéterminée X . Pour n ∈ ℕ , ℝ n [X ] désigne le sous-espace vectoriel formé des polynômes de degré inférieur à n . Pour tout polynôme P ∈ ℝ [X ] on pose ∆(P ) = P (X + 1) − P (X ) . Partie I 1.a Montrer que ∆ est un endomorphisme de ℝ [X ] . 1.b On suppose que P est un polynôme constant, préciser ∆(P ) . On suppose que deg P ≥ 1 , déterminer deg(∆(P )) . 2. Soit n ∈ ℕ∗ . On note ∆n la restriction de ∆

deux Kespaces vectoriels norm´s r´els et f : E → F une application. e e 1. On suppose que K = R et f est born´e sur la boule unit´ de E telle que : e e ∀(x, y) ∈ E 2 : f (x + y) = f (x) + f (y) Montrer que f est une application lin´aire continue sur E e 2. On suppose que f est lin´aire v´rifiant : e e (f (xn ))n∈N est born´e dans F pour toute suite (xn )n∈N de E tendant vers 0 dans E. e Montrer que f est continue Exercice 2 : Soit (E, ||.||E ) et (F, ||.||F )deux K-espaces vectoriels norm´s e soit

plus grand soin à la rigueur des démonstrations et de la présentation. En particulier toute question devra commencer par un titre annonçant ce qui va être démontré et se terminer par une conclusion. Dans tout le problème, E désigne un C-espace vectoriel de dimension finie n 2. On note GL(E) le groupe (pour la composition des applications) des automorphismes de E et SL(E) l’ensemble des endomorphismes de E de déterminant 1. id E désigne l’application identité de E. On appelle involution de E un

Exercices du chapitre VIII : Espaces vectoriels Soit E un espace vectoriel sur le corps K. Montrer les relations suivantes : ∀λ∈K ,∀X∈E (a) 0X = λ0 = 0 [deux de ces 0 sont dans E, et un seul (lequel?) est dans K]. (b) (−λ)X = −(λX) = λ(−X) on notera −λX cet ´l´ment. ee (c) (−1)X = −X (d) (−λ)(−X) = λX No 1 Solution (a) On a indiqu´ en caract`re gras le 0 de K. En utilisant (EV2) e e 0X = (0 + 0)X = 0X + 0X , puis en utilisant les propri´t´s de groupe dans E, ee 0 = 0X + (−0X) = 0X + 0X +