Montre

TD Dérivation 1 Etude de dérivabilité : Exercice 1 Soit f la fonction définie pour t ∈ 0, π2 , par f (t) = 1 sin(t) − 1t . Montrer que f peut être prolongée en une fonction de classe C 1 sur 0, π2 . Exercice 2 Déterminer les limites suivantes : sin(x− π3 ) a) limπ 1−2 cos(x) b) lim xn −1 x−→1 x−1 x−→ 3 c) limπ cos(x)−sin(x) 4x−π x−→ 4 Exercice 3 Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de définition, son ensemble de dérivabilité et calculer sa dérivée là où elle existe

des cas suivants, dire si l’application f : R ! R est injective, surjective ou bijective : a) f(x) = x2; b) f(x) = x3; c) f(x) = x(x2 − 1); d) f(x) = exp x; e) f(x) = sin x. Ex. 4 Soit A = {a1, ..., an} un ensemble fini. 1. Soit f : A ! A. Montrer que f est injective si, et seulement si, f est surjective. Le r´esultat persiste-t-il si A est infini ? 1 2. Combien y a-t-il de bijections de A sur A ? Ex. 5 Trouver un majorant du nombre de chiffres d’un entier n. Ex. 6 Supposons qu’un plan

l’origine de nombreuses avancées dans l’horlogerie de luxe, et notamment dans le domaine des chronographes et de l’extrême précision. Après s’être érigée au rang des marques de montres de luxe les plus influentes et convoitées, la société a su tirer profit de son engagement actif dans le monde du sport pour créer des montres et instruments de chronométrage parmi les plus précis du monde. D’ailleurs, TAG Heuer fut le premier à obtenir une précision au 1/10e, 1/100e, 1/1000e et même 1/10 000e de seconde

boule ferm´ee est un ferm´e. a) Il faut montrer qu’une boule ouverte est voisinage de tous ses points, c’est `a dire que pour tout x ∈ B(a, r), il existe s > 0 tel que B(x, s) ⊂ B(a, r). Nous pouvons choisir s r − d(a, x) ; comme d(a, x) < r, il existe bien s > 0, donc B(x, s) existe. Il reste ` a montrer que B(x, s) ⊂ B(a, r). Or si y ∈ B(x, s), alors d(x, y) < s et donc <s d(a, x) + d(x, y) d(a, y) ; donc, d(a, y) < r et y ∈ B(a, r). <r b) Il faut montrer que le compl´ementaire d’une boule ferm´ee

mode On parle surtout de l’effet de mode dans la Lettre 99, l’antithèse « les coiffures montent insensiblement; et une révolution les fait descendre tout à coup » montre que les femmes aiment être au gout du jour au niveau de la mode. C’est aussi au niveau des chaussures que les femmes montrent leur appartenance à la mode comme le montre cette métaphore « les talons faisaient un piédestal, qui les tenait en l'air ». Elles sont aussi adeptes du maquillage « une quantité prodigieuse de mouches ». De

⊂ ker α. Montrer qu’il existe un réel λ tel que α = λβ. r 1b. Soient α, β1 , . . . , βr des formes linéaires sur Rn telles que i=1 ker βi ⊂ ker α. Montrer que r−1 α est combinaison linéaire de β1 , . . . , βr . (Une méthode possible est de raisonner par récurrence sur r, en considérant, pour r ≥ 2, la restriction de α et βr à F = i=1 ker βi ). 1 Première partie 2. Soit γ : ] − 1, 1[→ Rn une application de classe C 1 telle que ∀t ∈] − 1, 1[, ||γ(t)|| = 1 . Montrer que pour

a parall`le ` la droite (OC) passant par D se coupent en F . e a 1 Placer E et F et v´rifier que le point F a pour affixe zF = −1 + i. e 2 3. Montrer que les triangles OAB et OCF sont isom´triques. e Partie 2 On consid`re la transformation f du plan, d’´criture complexe : z ′ = −i z + 2i. e e 1. D´terminer les images des points O, A, B par f . e 2. (a) Montrer que f est une similitude. Est-ce une isom´trie ? e (b) D´terminer l’ensemble des points invariants par f . e (c) La transformation f est-elle

ÉTUDE DE CAS 2 : TIME LINE Dossier 1 – Optimisation de la production et des commandes (35 points) 1.1. Tableau qui déterminera pour chaque montre (10 pts) – le coût de revient direct, – le taux de marque, – le taux de marge, – le coefficient multiplicateur, – le prix de vente HT, – le prix de vente TTC. Goldy Casual Terrific Coût de revient 33,54 25,15 (4) 20,58 Taux de marge 91,98 (1) 80,03 80,03 Prix de vente HT 64,39 45,28 37,05 Taux de marque 47,91 (2) 44,46 44,45 Coefficient multiplicateur

Inutile d’en changer, tant qu’elle est programmable. Logiciels Des liens vers des logiciels libres sont donnés sur le blog www.ac-grenoble.fr/ugine/maths. Il vous faudra Geogebra, OpenOffice et éventuellement Sage. On s’attachera durant l’année à en montrer l’utilité mais aussi les limites... Évaluations Devoirs de cours Ils ont pour but de vérifier que le cours est bien appris, y compris les démonstrations signalées comme pertinentes durant la classe. Leur fréquence est aléatoire. Ils peuvent être

a) Calculer P2 et P3 . Déterminer degré et coefficient dominant de Pn . b) Montrer que, pour tout n ∈ ℕ et pour tout z ∈ ℂ∗ on a Pn (z + 1 z ) = z n + 1 z n . c) En déduire une expression simple de Pn (2 cos θ ) pour θ ∈ ℝ . d) Déterminer les racines de Pn . Dérivation Exercice 3 Résoudre les équations suivantes : a) P ′ 2 = 4P d’inconnue P ∈ K [X ] b) (X 2 + 1)P ′′ − 6P = 0 d’inconnue P ∈ K [X ] . Exercice 4 Montrer que pour tout entier naturel n , il existe un unique polynôme Pn ∈ ℝ [X ] tel