Partie bornée

d’ axiomes répartis sur quatre groupes : le premier groupes correspond aux axiomes de l’ addition, dans le deuxième - les axiomes de la multiplication, dans le troisième - les axiomes de la relation d’ ordre et dans le quatrième - l’ axiome de la borne supérieure. La relation d’ ordre . La relation d’ ordre est totale dans R ; ce qui signi…e que est est est est ré‡exive : 8x 2 R; x x antisymétrique : 8x 2 R; 8y 2 R, si x y et y x alors x = y transitive : 8x 2 R; 8y 2 R; 8z 2 R; si x y et y z alors

que , Et 2 Nombres, relations et applications 2.1 Nombres IN : Naturels IN0 Z : Entier Z0 Z+=IN  : rationnels IR : réel 2.2 Relation d’ordre : la relation dans IR Rappel : Une relation § (« Brol », n’importe quoi) dans IR est une partie de IRxIR La relation § est un préordre sur IR ssi elle est Réflexive : Transitive : si La relation § est un ordre sur IR ssi elle est Réflexive Transitive Antisymétrique : si a § b et b § a alors a = b Un ordre est total ssi a § b ou

Mathématiques MPsi•MP Résumé du cours en fiches Daniel Fredon Ancien maître de conférences à l’université de Limoges © Dunod, Paris, 2010. ISBN 978-2-10-055590-1 Table des matières Partie 1 – Analyse dans R 1 2 3 4 5 6 7 8 © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. Nombres réels 1re année 2 6 10 13 14 15 16 17 18 19 20 Intégrales définies 1re année 39 43 47 Fonctions numériques 1re année Calcul des primitives 1re année Limites : généralités

vectoriel des fonctions définies sur R, réelles, continues et T -périodiques, et enfin par a un élément de P . On pose T A= 0 a(t)dt , g(t) = exp Ä 0 t a(u)du ; ä on munit P de la norme définie par x = sup |x(t)| . t∈R Première partie 1. Dire pour quelle(s) valeur(s) de A l’équation différentielle x (t) = a(t)x(t) admet des solutions T -périodiques non identiquement nulles. On désigne maintenant par b un élément de P , et on s’intéresse à l’équation différentielle x (t) = a(t)x(t)

d’une marque  j qui correspond à une borne supérieure (inférieure) pour la distance minimale (maximale) de x1 à x j . On diminue (augmente) progressivement ces marques, à raison d’une par étape, et en suivant la procédure décrite dans l’organigramme ci-dessous. Lorsqu’une telle diminution (augmentation) n’est plus possible, la marque  j est la distance minimale (maximale) de x1 à x j . Un chemin de longueur minimale (maximale) peut être construit, à partir des distances  j ainsi obtenues, par

et y ¤ yI (d) Dans R2 , l’ordre lexicographique d´fini par : e px, yq ¤ pxI, yIq ðñ x   xI ou Attention.   x  xI et y ¤ yI ¨ 1.2 ´e El´ments remarquables D´finition. Soit ¤ une relation d’ordre sur un ensemble E et A une partie de E. On d´finit : e e • M € E est un majorant de A si et ssi : dx € A, x ¤ M • α est un plus grand ´l´ment de A si et ssi : ee 5 α€A dx € A, x ¤ α On donne des d´finitions analogues pour un minorant et un plus petit ´l´ment. e ee Th´or`me

plus, d'exercices de même type non résolus. Llinsi, pour une bonne compréhension du cours et une bonne préparation à un examen, il est vivement conseillé de chercher et d'essayer de résoudre SEUL les exercices et le cas échéant, revoir la ou les parties du cours avant de consulter, en extrême recours, la solution du problème, l'écrire et la refaire soi-même. Nous espérons que ce livre apportera une aide efficace aux étudiants et leur permettra de mieux aborder les notions et méthodes nouvelles introduites

Le corps R des nombres réels 1.1 Construction de R à l’aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du corps Q des nombres rationnels. L’ensemble N des entiers naturels peut être construit à partir de la notion de cardinal dans le cadre de la théorie des ensembles. Après avoir étudié la théorie des groupes, on construit l’anneau Z des entiers relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Majorant, plus grand élément, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 L’ensemble des réels, axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 La fonction partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.7 Les intervalles . . . .

Remarque – 1. Un polynôme est une série entière dont les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang. 2. Les sommes partielles d’une série entière sont des polynômes. 3. La série entière an z n converge au moins pour z = 0 ; sa somme est alors a0 . an z n . On appelle 1.2 Lemme d’Abel Lemme d’Abel — Théorème 1.1 Soit n n an z une série entière et z0 un complexe non nul tel que la suite (an z0 ) soit bornée. n z 1. Pour tout complexe z : an z n = O . z0 2. Pour tout complexe z tel que