Pensée complexe

Nombres réels et complexes I. Nombres réels Weierstrass (1863) et Dedekind (1872) furent les premiers à proposer une construction satisfaisante de ℝ ... que nous ne présenterons pas. Parmi les nombres réels, ceux qui s’écrivent comme rapport de deux entiers sont dits rationnels, ils forment l’ensemble ℚ . Les autres sont dits irrationnels. 1°) Opérations dans ℝ ℝ est muni de deux opérations + et × i.e. de deux applications : ℝ×ℝ → ℝ ℝ×ℝ → ℝ et . (x , y ) ֏ x + y (x , y ) ֏ x ×y Propriétés

V = 2π est appelé le module du vecteur d’onde qui s’exprime en m−1 . λ On utilise très souvent la notation complexe d’une onde progressive sinusoïdale : la forme suivante qui permet de mettre en évidence la double périodicité (dans le temps et dans l’espace) : ¶¸ ∙ µ x t − s (x, t) = S0 cos 2π T λ s (x, t) = S0 ei(ωt−kx) s (x, t) = S eiωt où S = S0 e−ikx représente l’amplitude complexe de l’onde progressive sinusoïdale. Le module S0 de S est l’amplitude de l’onde tandis que son argument −kx

élaboré par Freud. Il est, avec le Ça et le Moi, l'une des trois instances de la personnalité. Il désigne la structure morale (conception du bien et du mal) et judiciaire (capacité de récompense ou de punition) de notre psychisme. Il est l'héritier du complexe d'Œdipe. Il répercute les codes de notre culture sous la catégorie de « ce qu'il convient de faire ». Il s'agit d'une instance souvent sévère et cruelle, surtout formée d'injonctions qui contraignent l'individu. Le mot topique signifie lieu

existe aussi certains scalaires prédéfinis tels que pi (π), NaN (Not a Number), Inf (∞), eps (= 2.2204e-16, precision machine), realmin (=2.2251e-308), realmax (1.7977e+308), ... √ La constante i est le nombre imaginaire −1 prédéclaré. Les nombres complexes sont écrits sous la forme a + bi où a et b sont des nombres réels. Il est impératif de ne mettre aucun blanc entre le nombre b et i. Ainsi 3+ 4i et 3 + 4i sont valables mais 3+4 i n’est pas reconnu. Pour comparer deux réels, on peut utiliser les

1 = x a) 0 b) 1 c) +  2) L’image de l’intervalle [– 1, 2 ] par la fonction f : x  x2 est a) [0 , 4] b) [1, 4] c) [– 1 , 4] x–i a pour module : x+i c) 2 3 x2 – 1 x2 + 1 3) Soit x un réel. Le nombre complexe z défini par : z = x–1 x+1 4) Un argument du nombre complexe : –1 + i 3 est :   a) b) – 3 3 a) 1 b) c) Exercice 2 : (4 points)  f(x) = cosx  1–x Soit la fonction f définie par :  f(x) = x3 – 12x + 1  f(x) = 1 + x – x2 – 4  1) Calculer lim f(x) x + si x

d'identification au père le conduira à chercher comme lui (il ne le sais pas encore ) une femme hors du cercle familial. Le garçon sort du complexe d'Oedipe du fait de la menace de castration. Par identification au père mais aussi à la mère , l'enfant se constituera sa propre personnalité . Chez la fille , le complexe d'Oedipe ne disparait jamais tout à fait et ses effets se feront sentir dans toute sa vie de femme . L'enfant Oedipien (enfant imaginaire)

⇔ p1.q2 = p2 .q1 } q q1 q2 * * = − {0} Mais π , * + 2,e∉ * : ensemble des nombres réels = − {0} : ensemble des réels strictement positifs 2 Mais les racine i et –i de x²+1 ne sont pas dans : ensemble des nombres complexes = { a+ib ;(a,b) ∈ } * = − {0} 1. Logique 1.1. Propositions logiques Définition : On appelle proposition, un énoncé qui ne prend que 2 valeurs : vrai (V) ou faux (F). Exemple : « 3 < 4 » est une proposition de valeur vraie. « 2 est un

Ch 6 Nombres complexes Correction des exercices type Bac Exercice 9 Bac S - Polynésie – Juin 2006 Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct ( O ; [pic] ; [pic] ) ; unité graphique 2 cm. On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a = 1 et b = – 1. On considère l’application f qui, à tout point M différent du point B, d’affixe z, fait correspondre le point M’ d’affixe z’ définie par : z’ = [pic]. On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice

dans l’évaluation. Le point L est-il l’orthocentre du triangle BGI ? E XERCICE 4 Enseignement obligatoire 5 points → → − − Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v (unité graphique : 2 cm). On considère les points A, B et C d’ affixes respectives : 3 3 zA = − + i , zB = zA et zC = −3. 2 2 Partie A 1. Écrire les nombres complexes zA et zB sous forme exponentielle. 2. Placer les points A, B et C. 3. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral. Partie B Soit f l’application

Mathématiques. TS. 1 heure. Calculatrice interdite. Exercice 1 (3.5 pts) Donner la forme algébrique des complexes suivants : z1 = (3 − 2i)(1 − i) z4 = (1 − i)² 1 z2 = 3 - i z5 = 3i + 4 3 - 2i z3 = 1 - i z6 = (3 + 2i)(1 + i) Exercice 2 (2 pts) Déterminer le module et un argument des complexes suivants : z1 = −5 z2 = 63i z3 = -2(1 − i) Exercice 3 (3 pts) Déterminer la forme trigonométrique des complexes suivants : z1 = 3 + i z2 = 3(-1 + i) 1-i 3 z3 = sin(π/6) + i cos(π/6) Exercice 4 (3 pts) a. Calculer