Nombres réels et complexes
I. Nombres réels Weierstrass (1863) et Dedekind (1872) furent les premiers à proposer une construction satisfaisante de ℝ ... que nous ne présenterons pas. Parmi les nombres réels, ceux qui s’écrivent comme rapport de deux entiers sont dits rationnels, ils forment l’ensemble ℚ . Les autres sont dits irrationnels. 1°) Opérations dans ℝ

ℝ est muni de deux opérations + et × i.e. de deux applications :

ℝ×ℝ → ℝ ℝ×ℝ → ℝ et . (x , y ) ֏ x + y (x , y ) ֏ x ×y

Propriétés de l’addition : ∀a ,b , c ∈ ℝ , a + b = b + a (commutativité) (a + b ) + c = a + (b + c ) noté a + b + c (associativité) a + 0 = 0 + a = a (0 est élément neutre) ∃!d ∈ ℝ tel que a + d = d + a = 0 (tout élément est symétrisable) Cet élément d est noté −a et cela permet de définir l’opération de soustraction. Propriétés de la multiplication : ∀a ,b , c ∈ ℝ , ab = ba (commutativité), (ab )c = a (bc ) noté abc (associativité), a ×1 = 1×a = a (1 est élément neutre), a (b + c ) = ab + ac (la multiplication est distributive sur l’addition). Si a ≠ 0 alors ∃!d ∈ ℝ tel que ad = da = 1 (tout élément non nul est inversible). Cet élément d est noté 1 a et cela permet de définir l’opération de division. ℝ est ordonné par une relation ≤ . Celle-ci permet de visualiser ℝ comme une droite. La relation ≤ est compatible avec + et × i.e. : ∀a ,b , c ∈ ℝ , a ≤ b ⇔ a + c ≤ b + c et c ≥ 0 et a ≤ b ⇒ ac ≤ bc . Prop : ∀a ,b ∈ ℝ . Si 0 < a ≤ b ou a ≤ b < 0 alors Prop : ∀a ∈ ℝ, a 2 ≥ 0 . 1 ∀a ,b ∈ ℝ,ab ≤ (a 2 + b 2 ) . 2 Prop : Soit a ∈ ℝ + . Si ∀ε > 0 , a ≤ ε alors a = 0 . 2°) Valeur absolue

1 1 ≤ . b a

x si x ≥ 0  Déf : Pour x ∈ ℝ , on pose x =  appelé valeur absolue de x .  −x sinon  
Prop : ∀x , y ∈ ℝ , x ≥ 0, −x = x , x ≤ x , x = 0 ⇔ x = 0 .

xy = x y et si x ≠ 0, 1 x = 1 x .
Prop : (inégalité triangulaire) ∀x , y ∈ ℝ , x + y ≤ x + y avec égalité ssi x et y ont même signe. Cor : (inégalité triangulaire renversée) ∀x , y ∈ ℝ , x − y ≤ x − y . Déf : Soit x , y ∈ ℝ . On appelle