Petit théorème de Fermat

Notions essentielles du cours de mathématiques de MPSI Julien Élie Ce petit document reprend le plan de cours de Serge Francinou, l’excellent professeur que j’ai eu l’honneur d’avoir en mathématiques au Lycée Henri-IV de Paris en HX3, classe de mathématiques supérieures en MPSI (Mathématiques, Physique et Sciences de l’Ingénieur), durant l’année scolaire 20022003. Il est à noter que j’ai moi-même été interrogateur en mathématiques dans cette même classe durant l’année scolaire 2006-2007. J’ai

lecteurs Fermat ou Maupertuis ? De Broglie ! Monsieur Grandjean, de Fontaine-lès-Dijon (Côte-d'Or), nous fait part du vif intérêt qu'il a eu à la lecture de l'article de Bernard Maitte, Descartes, Fermat, Maupertuis tt ~ Cl.. Cil Disputes 11 sur la réfraction de la lumière, paru dans le numéro 134 de Tangente. Il s'étonne toutefois de la conclusion que fait l'auteur, à savoir qu'tt une même loi physique (la réfraction) peut être justifiée de deux manières contradictoires (Fermat et Maupertuis)

{\bfseries...} graisse normale gras {\upshape...} {\itshape...} {\em...} droit italique emphase AaBbCcDdEe \textup{...} \textit{...} \emph{...} AaBbCcD \textsc{...} {\scshape...} \MakeUppercase{...} \MakeLowercase{...} petites capitales CAPITALES minuscules \textnormal{...} annule les changements AaBbCcDdEeFf AaBbCcDd {\fontsize{10pt}{12pt}\selectfont...} texte de 10pt, interligne de 12pt - 10pt = 2pt. {\normalfont...} Polices mathématiques et de

d'Euclide Plus grand commun diviseur ou pgcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le lemme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plus petit commun multiple ou ppcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Décomposition d'un entier en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Groupes nis 2.1 2.2 2.3 Les groupes quotients 31 Z/nZ . . . . . . . . . . . . .

n8 ≡ 1 mod d . 2. Recherche de critères Soit d un diviseur de A(n). On note s le plus petit des entiers naturels non nuls k tels que n k ≡ 1 mod d . a. Soit k un tel entier. En utilisant la division euclidienne de k par s, montrer que s divise k. b. En déduire que s est un diviseur de 8. c. Montrer que si, de plus, d est premier, alors s est un diviseur de d −1. On pourra utiliser le petit théorème de Fermat. 3. Recherche des diviseurs premiers de A(n) dans le cas où n est un entier pair. Soit p

premier jour de prépa, je me suis fait peur. Après trois heures de maths et trois heures de physique d’affilée (avec une pause quand même), on avait déjà beaucoup de travail pour le lendemain (revoir le cours et les exercices non triviaux). Et petit à petit, puisqu’on devient plus efficace, la quantité de travail augmente. Mais il n’est jamais possible de tout faire (à moins de moins dormir pour travailler davantage, ce qui est une mauvaise stratégie je pense). Mais il n’y a pas que le travail

premier jour de prépa, je me suis fait peur. Après trois heures de maths et trois heures de physique d’affilée (avec une pause quand même), on avait déjà beaucoup de travail pour le lendemain (revoir le cours et les exercices non triviaux). Et petit à petit, puisqu’on devient plus efficace, la quantité de travail augmente. Mais il n’est jamais possible de tout faire (à moins de moins dormir pour travailler davantage, ce qui est une mauvaise stratégie je pense). Mais il n’y a pas que le travail, il

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un est divisible par 5 n+1 . 2. a. Vérifier que u3 = 2009250 − 1 puis en déduire que 2009250 ≡ 1[ 625 ] . b. Démontrer alors que 20098001 ≡ 2009 [ 625 ] . Partie C 1. En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que 20098001 − 2009 est divisible par 10 000. 2. Conclure, c’est-à-dire déterminer un entier naturel dont l’écriture décimale du cube se termine par 2009. ZHIOUA KHALED

par la NASA. Il est chef des illuminatis, et confirme la thèse de Jacques Cheminade selon laquelle il y a un petit groupe de personnes présidé par le prince Charles qui gouvernerait le monde en secret. C'est un homme de paix avant tout, il utilise son savoir pour le bien, ce qui lui vaut la sympathie de l'ONU. Il est aussi entre autres l'auteur du Guide d'Utilisation de l'iPad et du Petit Robert, dans lesquels il conclut que : " Si on arrive à l'heure là où on est pas en retard, en plus on est pas

fondamental pour les mathématiciens que pour tous les autres chercheurs, mais ceux qui travaillent sur les fondements des mathématiques sont sans doute plus pointilleux sur leur manière d’établir la vérité. Andrew Wiles, qui a récemment démontré le théorème de Fermat, a élaboré une démonstration entièrement manuelle, sans aucune aide informatique. Sa démonstration s’appuie sur les travaux qui se sont succédé en grand nombre depuis le xviiie siècle, entre autres, ceux d’André Weil. De cas particuliers en