Pierre de Fermat

Correction [003089] Deuxième partie Arithmétique 14 Congruences Exercice 3090 Sommes de nombres impairs Soit n ∈ N, n ≥ 2. Montrer que si N est la somme de n nombres impairs consécutifs, alors N n’est pas premier. Exercice 3091 Petit théorème de Fermat Soit p ∈ N premier. Montrer que pour 1 ≤ k ≤ p − 1, p divise Ck . p En déduire que ∀ n ∈ Z, n p ≡ n(mod p). Exercice 3092 (p − 1)(p − 2)...(p − n)/n! Soit p ∈ N∗ premier et n ∈ N∗ , n < p. Montrer que (p−1)(p−2)...(p−n) n! [003090] [003091]

: Monsieur François PASQUALINI Professeur à l’Université Paris-Dauphine Rapporteurs : Monsieur Jean-François BARBIÈRI Professeur à l’Université de Toulouse 1 Monsieur Nicolas MATHEY Professeur à l’Université de Paris 5 Suffragants : Monsieur Pierre-Yves GAUTIER Professeur à l’Université de Paris 2 Monsieur Thibaut MASSART Professeur à l’Université Paris-Dauphine Monsieur Henri OLIVIER Professeur à l’Université de Liège L’université Paris-Dauphine n’entend donner aucune approbation ni improbation

 PIERRE CHODERLOS DE LACLOS LES LIAISONS DANGEREUSES PREMIÈRE PARTIE LETTRE PREMIÈRE CÉCILE VOLANGES À SOPHIE CARNAY aux Ursulines de... Tu vois, ma bonne amie, que je te tiens parole, et que les bonnets et les pompons ne prennent pas tout mon temps; il m'en restera toujours pour toi. J'ai pourtant vu plus de parures dans cette seule journée que dans les quatre ans que nous avons passés ensemble; et je crois que la superbe Tanville aura plus de chagrin à ma première visite, où

de succès que Léonard Ducapre ? Approfondir 49 INFO Le pari du Chevalier de Méré 50 ALGO Intervalle de fluctuation Le problème dit du « pari du chevalier de Méré » op- On considère une urne contenant : posa ce dernier à Fermat et à Pascal : • 3 boules blanches ; • 5 boules noires. • Pari 1 : si l’on jette 4 fois un dé à 6 faces, il y a plus de chances qu’on obtienne un six plutôt qu’on n’en obtienne pas. • Pari 2 : si l’on jette 24 fois deux dés à 6 faces, il

L’équation r (t) = d équivaut à t = 4. La nappe atteindra la côte au bout de 4 jours. 6 6 On a r’ (4) = 250 ; sa vitesse sera alors de 250 π π soit environ 345,5 m par jour. 126 1. – 9,8t + 29,4. 2. C’est la vitesse à l’instant t = 0. 3. La pierre touche le sol à l’instant t = 6 ; sa vitesse sera alors de –29,4 m . s–1. 128 129 1. Fichier associé sur www.bordas-indice.fr : 03S_exercice129.xws (Xcas) et 03S_exercice129.dfw (Derive). On pose f (x) = 2x² – x – 5 et g (x) = –x3 + 3x + 3

d’exercices. L’esprit e n’a pas chang´ : simplifier le concoctage des feuilles d’exercices par un simple «copier-coller». e Je n’ai pas saisi tous les exercices, je remercie vivement les «gros» contributeurs : - Franz Ridde ; - Fran¸ois Gourio ; c - Pierre-Yves Legall ; - Pascal Ortiz. Sans oublier tous ceux qui m’ont fourni leurs feuilles d’exercices : Jean-Fran¸ois Barraud, C´cile c e Drouet, Olivier Gineste, Vincent Guirardel, Jean-Marc H´cart, Jean-Marie Lescure, Sylvain e Maillot, Nicolas

toujours dans le dessein d'en faire mon élève. Je crois avoir oublié de vous dire que ses soupçons au sujet de sa correspondance trahie s'étaient portés d'abord sur sa Femme de chambre, et que je les ai détournés sur le Confesseur. C'est faire d'une pierre deux coups. Adieu, Vicomte ; voilà bien longtemps que je suis à vous écrire, et mon dîner en a été retardé : mais l'amour−propre et l'amitié dictaient ma Lettre, et tous deux sont bavards. Au reste, elle sera chez vous à trois heures, et c'est tout

toujours dans le dessein d'en faire mon élève. Je crois avoir oublié de vous dire que ses soupçons au sujet de sa correspondance trahie s'étaient portés d'abord sur sa Femme de chambre, et que je les ai détournés sur le Confesseur. C'est faire d'une pierre deux coups. Adieu, Vicomte; voilà bien longtemps que je suis à vous écrire, et mon dîner en a été retardé: mais l'amour-propre et l'amitié dictaient ma Lettre, et tous deux sont bavards. Au reste, elle sera chez vous à trois heures, et c'est tout

toujours dans le dessein d’en faire mon élève. Je crois avoir oublié de vous dire que ses soupçons au sujet de sa correspondance trahie s’étaient portés d’abord sur sa femme de chambre, et que je les ai détournés sur le confesseur. C’est faire d’une pierre deux coups. Adieu, Vicomte ; voilà bien longtemps que je suis à vous écrire, et mon dîner en a été retardé ; mais l’amour-propre et l’amitié dictaient ma lettre, et tous deux sont bavards. Au reste, elle sera chez vous à trois heures, et c’est tout

toujours dans le dessein d'en faire mon élève. Je crois avoir oublié de vous dire que ses soupçons au sujet de sa correspondance trahie s'étaient portés d'abord sur sa Femme de chambre, et que je les ai détournés sur le Confesseur. C'est faire d'une pierre deux coups. Adieu, Vicomte ; voilà bien longtemps que je suis à vous écrire, et mon dîner en a été retardé : mais l'amour−propre et l'amitié dictaient ma Lettre, et tous deux sont bavards. Au reste, elle sera chez vous à trois heures, et c'est tout