Poissons d'aquarium

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 3.8 3.9 3.6.7 La loi de Poisson de param`tre λ ∈]0, ∞[ . . . e 3.6.8 Le cas continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.9 La loi uniforme continue sur le segment [a, b] : . 3.6.10 lois gaussiennes (ou lois normales) . . . . . . . 3.6.11 La loi exponentielle . . . . . . . .

3.e EC d’utiliser cet ajustement exponentiel pour estimer une valeur inconnue /0,5 4 EC de choisir un modèle de régression /1 2 1 EC de déterminer la nature binomiale d’une loi et d’en préciser les paramètres /2 2 EC de préciser quelle loi de Poisson approche la loi binomiale /1 3.a EC de calculer une probabilité avec un valeur égale à… /1 3.b EC de calculer une probabilité avec une valeur comprise dans un intervalle. /1 4 EC de transformer un problème en calcul de probabilité et d’exprimer

conserve le volume dans le cas de l’élasticité linéaire isotrope, 4 - relier la déformation de distorsion γxy aux allongement et raccourcissement à 45◦ , 5 - en déduire la relation entre le module de cisaillement et les modules d’Young et coefficient de Poisson, 4.2. Réponses 1 - supposons un élément de volume carré de côtés dl et d’épaisseur 1 comme représenté sur la Fig. 4. Les longueurs des segments du coin valent √ dl, dl et 2dl. Les forces agissant sur les faces sont : pour pour pour − → → n =− x :

crânien est 0,1. Si le nombre de microhémorragies est inférieur ou égal à 2 lors d’un match, alors la probabilité que le boxeur ait un traumatisme crânien est nulle. On suppose que le nombre de microhémorragies lors d’un match suit une loi de Poisson de paramètre 3 et que ce nombre est indépendant d’un boxeur à l’autre et d’un match à l’autre. On note X le nombre de microhémorragies d’un boxeur apparues lors d’un match ; on note Y le nombre de boxeurs présentant un nombre de microhémorragies

 les  plaque]es  sur  le  disque,  la  vitesse  de  glissement,  la  température,  le  taux  d’humidité,   etc…  Nous  considérerons  ici  que  le  coefficient  de  fro]ement  est  égal  à  0,2.   ! ! Module de Young (E en MPa) Coefficient de Poisson (v) Masse volumique (p en kg/m3) Coefficient de frottement (µ) ! ! ! ! ! ! Disque Plaquette 120000 1000 0,3 0,25 8000 1500 0,2 0,2 6 DéfiniCon  des  condiCons  limites   ! L’étude  thermo-­‐mécanique

Deux poissons rouges, l'un à taches blanches et l'autre noires, affamés, voyant la vie derrière un écran de verre, décident une bonne fois pour toute d'exprimer ce qu'ils pensent. Poisson rouge à taches blanches : « - Trois jours, voilà trois jours que personne ne nous a nourri ! Poisson rouge à taches noires : Tu es nouveau ici ? Cela est si fréquent... ils doivent tous penser que quelqu'un d'autre s'est occupé de nous et par conséquent aucun d'eux ne prend vraiment la peine de le faire.

2.2 Variables aléatoires continues 6.2.3 Espérance mathématique . . 6.2.4 Variance . . . . . . . . . . . . 6.3 Loi de probabilité . . . . . . . . . . . 6.3.1 Loi de Bernouilli . . . . . . . 6.3.2 Loi uniforme . . . . . . . . . 6.3.3 Loi de Poisson . . . . . . . . 6.3.4 Loi exponentielle . . . . . . . 6.4 Modèles stochastiques . . . . . . . . 6.4.1 Processus stochastiques . . . 6.4.2 Chaînes de Markov . . . . . . 6.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n susceptibles. Chaque infecté a une période de contagion qui suit une loi I (moyenne i variance σ 2 ) indépendante de celle des autres. Et pendant cette période il rencontre un autre individu donné suivant les instants de saut d’un processus de Poisson d’intensité λ/n. Tous ces processus sont indépendants entre eux et des périodes de contagion. Ainsi, pendant temps dt, la probabilité qu’un infecté rencontre un individu initialement susceptible vaut λ. On appellera En,m (λ, I) une telle épidémie

binomiale de paramètres n ∈ N et p ∈ [0; 1], X ∼ B(n, p) : ∀k ∈ N, 0 k n, P(X = k) = n k pk (1 − p)n−k . Figure 1.1 – Loi binomiale • une loi à support infini : la loi de Poisson de paramètre λ ∈ R∗+ , X ∼ P(λ) : ∀λ > 0, ∀k ∈ N, P(X = k) = 9 λk −λ · k! e Figure 1.2 – Densité de probabilité de la loi de Poisson de paramètres 4 et 15 Lois continues : • la loi normale de paramètres réels µ et σ 2 , σ > 0, X ∼ N (µ; σ 2 ) : ∀t ∈ R, P(X t) = − t √1 −∞ σ 2π e (x−µ)2 2σ 2 dx. Figure 1.3

5- Exercices IV- Caractéristiques numériques des variables aléatoires 1- Espérance 2- Variance, covariance 3- Exercices V- Variables aléatoires usuelles 1- Loi de Bernoulli (p) 2- Loi binomiale (n, p) 3- Loi uniforme 4- Loi exponentielle 5- Loi de Poisson (λ) 6- Loi normale (µ, σ) 7- Exercices VI- Somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes 1- L'inégalité de Tchebychev 2- Loi des grands nombres 3- Théorème central-limite 4- Exercices VII- Echantillonnage 1- Description des données