Polygone équilatéral

trouvent aux sommets d’un carré ? b. Est-il possible d’allumer exactement 8 lampes et que celles-ci se trouvent aux sommets d’un hexagone régulier ? c. Est-il possible d’allumer exactement 503 lampes et que celles-ci se trouvent aux sommets d’un polygone régulier à 503 côtés ? Exercice 4 (proposé par la cellule académique) Inauguration Olympiade-Ville va bientôt avoir sa ligne de métro. La longueur de trois sections (*) consécutives devra toujours être inférieure ou égale à 16 km et la longueur

égaux. Le triangle et le trapèze sont des demi-parallélogrammes. explication géométrique (2)- INFOS cercle Longueur d'un arc de rayon r et d'angle α L = r . α (α en radians) donc demi circonférence = π r Le cercle peut être assimilé à un polygone régulier à 2n côtés. L'arrangement des triangles ci-contre forme un parallélogramme. rappel : : ! " radians # " . 180 degrés $ Volumes pyramide (1) parallélépipède volume : cas du cube : volume : V =a.b.c a =

ayant un sommet A donné. Angles et côtés L'angle au centre du Pentagone régulier est de 72° et l'angle intérieur de 108°. Si a est la longueur du côté, d la longueur d'une diagonale et r le rayon du cercle circonscrit, on a montré dans la page « polygones réguliers » que : a = 2 r sin 36° = = r ≈ 1,176 r ; d = = r ≈ 1,902 r. Le rapport diagonale/côté est égal au nombre d'or Φ = . Méthodes de construction du pentagone Pour tracer un pentagone régulier convexe, à la « règle et au compas », on peut

« plats » ou « circulaires » : Ce sont de parachutes constitués de morceaux de tissus de forme triangulaire qui, une fois assemblés, dessinent une forme de polygone régulier tels que les hexagones, octogones, etc. Ils permettent d’une part un calcul facile de la descente du projectile, en fonction du rayon du cercle circonscrit au polygone, et donc d’un des cotés isocèle des triangles choisis. D’autre part, ils sont faciles à fabriquer et peu onéreux. Le parachute hémisphérique :

ainsi que des cercles. 1) Combien mesure en moyenne une corde à treize nœuds ? 2) Tracer les figures géométriques suivantes à l’aide de la corde à treize nœuds, chaque sommet devant correspondre à un nœud. - Triangle isocèle : - Triangle équilatéral : - Carré : - Rectangle : - Hexagone : - Triangle rectangle En observant cette corde à treize nœuds ci-dessous, expliquer comment pouvait-on tracer un cercle à l’aide de cette corde. Allons plus loin La propriété

u | −|u | −|u | )=0 2 → 2 1 × 2| u | = 0 2 |u |=0 → → → u= 0 → → → → Exemple : à l'aide de la linéarité, démontrer que : AB . CD = − BA . CD Exercice : ABCD est un tétraèdre régulier d'arête a. (Chaque face est un triangle équilatéral de côté a) Démontrer que deux arêtes opposées sont orthogonales : → → → → π a2 Remarquons que AB . AC = AB × AC × cos( AB , AC ) = a × a × cos = . 2 3 → → a2 De même, AB . AD = . 2 → → → → → → → → → a2 a2 D'où : AB . CD = AB .( AD − AC ) = AB

points définis par : ® ® 2 ® ® ® ® ® 2 ® 1 ® 1 ® 2 ® 1 ® AI = AB ; AJ = AB ; AM = AC ; AN = AC ; BR = BC ; BS = BC 3 3 3 3 3 3 Démontrer que les droites (IS), (MR) et (NJ) concourent en G. Exercice 14 Soit ABC un triangle équilatéral de côté 3 cm. 1. Placer, en justifiant, le barycentre Z de (A, 1), (B, 3) et (C, -3). 2. Montrer que les droites (A Z) et (B C) sont parallèles. Exercice 15 Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BC = 8 cm et BA = 5 cm. Soit I le milieu

réaliser le carré et avoir les deux points manquants on va faire un cercle. Pour le réaliser, on clique sur l'icône cercle et on choisit cercle (centre-rayon), ensuite il demande la mesure, on choisit «m». Pour tracer le carré on va dans l'icône polygone régulier et le site nous trace le carré automatiquement. Mais avant que le carré soit tracer, on clique tout d'abord sur n puis sur M. Ensuite pour avoir la figure sans cercle et sans droite, on clique sur cercle puis masquer et sur droite puis

tourner la figure. On peut également modifier la vue dans l'onglet correspondant (en particulier, revenir à la vue initiale) On peut également zoomer la figure en utilisant les icônes < et >. Pour colorier la face ABC : Créer – Ligne – Polygone convexe – Défini par ses sommets. On l'appelle p. Cliquer sur l'icône "styles", hachurer, puis choisir la couleur. Retour à la question 3.c Comment construire le point E tel que ABCE est un parallélogramme ? Tracer ce parallélogramme. Tourner

2) a) Démontrer que les points A, G et I appartiennent au plan médiateur du segment [CH]. [AC] et [AH] sont deux diagonales de deux faces du cube d’où AC = AH [GC] et [GH] sont deux arêtes du cube d’où GC = GH Le triangle CFH est équilatéral car ses 3 côtés sont 3 diagonales de 3 faces du cube d’où I est aussi le centre du cercle circonscrit au triangle CFH , on en déduit que IC = IH . Finalement les points A, G et I sont équidistants de C et de H donc ils appartiennent au plan médiateur